Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tran nguyen bao quan, Mysterious Person, @Nk>↑@, Khôi Bùi , DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Lê Bùi, Hung nguyen, Trần Quốc Lộc, Nguyễn Thanh Hằng, Hồng Phúc Nguyễn, Nguyễn Huy Tú, Phương An, Trần Việt Linh,...
cái này bảo tìm GT \(\Rightarrow\) P có GT cố định
ta có : \(a=b=c=1\) thỏa mãn đk bài toán
thế vào P ta có \(P=0\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)
Vì a, b, c là các số dương \(\Rightarrow a=b=c=0\) ( loại )
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\) ( tự chứng minh )
\(\Rightarrow M=\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\left(\dfrac{c}{a}-1\right)=0\)
Vậy M = 0
\(A=\left(\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\dfrac{6x+3}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\dfrac{2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\right):\left(x+2\right)\)\(A=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x+2\right)}\)
a) \(A=\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1;-2\\\dfrac{1}{x^2-x+1}\end{matrix}\right.\)
b)
\(A>1;\dfrac{1}{x^2-x+1}>1\Leftrightarrow x^2-x< 0\Leftrightarrow0< x< 1\)
\(P=\dfrac{1}{x^2-x+1}.\dfrac{x^3-x^2+x}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x}{\left(x+1\right)^2}\)
x>0 => P >0 đang tìm Giá trị LN => chỉ xét P>0 <=> x>0
\(\dfrac{1}{P}=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x}=x+2+\dfrac{1}{x}\)
áp co si hai số dương x ; 1/x
\(\dfrac{1}{P}\ge2.\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2=4\Rightarrow P\le\dfrac{1}{4}\)
đẳng thức khi x =1/x => x=1 thỏa mãn đk của x
\(MaxP=\dfrac{1}{4}\)
1, Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\) (1)\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\) (2)\(\left(z-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow z^2-2z+1\ge0\Leftrightarrow z^2+1\ge2z\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm
5. a, Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\) (1)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\) (2)
\(\left(z-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow z^2-2z+1\ge0\Leftrightarrow z^2+1\ge2z\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
mà x+y+z=3
=>\(x^2+y^2+z^2+3\ge2.3=6\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge6-3=3\)
<=> \(A\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy GTNN của A=x2+y2+z2 là 3 khi x=y=z=1
b, Ta có: x+y+z=3
=> \(\left(x+y+z\right)^2=9\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9\)
<=> \(x^2+y^2+z^2=9-2xy-2yz-2xz\)
mà \(x^2+y^2+z^2\ge3\) (theo a)
=> \(9-2xy-2yz-2xz\ge3\)
<=> \(-2\left(xy+yz+xz\right)\ge3-9=-6\)
<=> \(xy+yz+xz\le\dfrac{-6}{-2}=3\)
<=> \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy GTLN của B=xy+yz+xz là 3 khi x=y=z=1
\(\left(a^3+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+b}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{ab+1}{a\left(a+b\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b^3+a}\le\dfrac{ab+1}{b\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\le\left(a+b\right)\left(\dfrac{ab+1}{a\left(a+b\right)^2}+\dfrac{ab+1}{b\left(a+b\right)^2}\right)-\dfrac{1}{ab}\)
\(P\le\dfrac{\left(ab+1\right)}{a+b}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{1}{ab}=\dfrac{ab+1}{ab}-\dfrac{1}{ab}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=1\)