Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Ta có đpcm.
1/ Đây là cách chứng minh dựa vào kiến thức lớp 9, không sử dụng các định lý hàm sin hoặc hàm cos của cấp 3:
Bạn tự vẽ hình.
Kẻ tam giác ABC với đường cao AH, ta đặt
\(BC=a;AC=b;AB=c;AH=h_a;BH=x\Rightarrow CH=a-x\)
Trong tam giác vuông ABH: \(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow c^2=x^2+h^2_a\) (1)
Trong tam giác vuông ACH: \(AC^2=CH^2+AH^2\Rightarrow b^2=\left(a-x\right)^2+h^2_a\) (2)
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:
\(c^2-b^2=x^2-\left(a-x\right)^2=2ax-a^2\Rightarrow x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\)
Thay x vào (1) ta được:
\(h^2_a=c^2-x^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2=\left(c-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)\left(a^2+2ac+c^2-b^2\right)}{4a^2}\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a-c\right)^2\right)\left(\left(a+c\right)^2-b^2\right)}{4a^2}\)
\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)}{4a^2}\) (3)
Gọi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác
\(\Rightarrow a+b+c=2p\) ; \(a+b-c=2\left(p-c\right)\) ; \(b+c-a=2\left(p-a\right)\) ; \(a-b+c=2\left(p-b\right)\)
Thay vào (3) ta được:
\(h_a^2=\dfrac{2\left(p-a\right)2\left(p-c\right)2p.2\left(p-b\right)}{4a^2}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{a^2}\)
\(\Rightarrow h_a=\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}\)
Mà ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}h_a.a\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}.a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
Bài 2:
Áp dụng đẳng thức : \(a^2+b^2\ge2ab\) (xảy ra đẳng thức khi a = b),ta có :
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2x}{z}\)
Tương tự : \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{z}\), \(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được :
\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\left(\text{đpcm}\right)\)
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge\dfrac{2x}{z}\); \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\); \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)
Cộng ba vế bđt sau đó chia 2 ta được đpcm