TH
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)
Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)
LN
1
22 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(y^2+z^2\ge2yz\) ; \(z^2+x^2\ge2zx\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
KK
9 tháng 2 2017
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)
Vì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\) ( đpcm )
4 tháng 4 2019
\(A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\)
\(\Leftrightarrow A^2=\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2A^2=\left(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{y^2z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\right)+\left(\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}\right)+12\)
\(\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+12=6+12=18\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
TN
1 tháng 2 2017
B1:x^2+2016=xy+yz+xz+x^2=...
tuong tu
y^2+2016=... ; z^2+2016=....
B2:bdt am-gm
29 tháng 1 2021
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
Ta có: \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)
Tương tự cũng có 2 BĐT còn lại:
\(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
Và \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Khi x=y=z=1
đây là phương pháp già vậy ạ