Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ba+bc}+\frac{c^4}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Bài này đăng nhiều trên OLM rồi, lời giải vắn tắt:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\)
\(\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)(bđt cô - si)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng từng vế của các bđt trên:
\(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dễ c/m: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
hay \(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)
=> \(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)
ap dung bdt cauchy -schwaz dang engel ta co
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\)
ma \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
dau =xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)