NN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2017
Lời giải:
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2-b^2)+(a-b)=b^2\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2\)
Giả sử $a-b, 2a+2b+1$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó, giữa $a-b,2a+2b+1$ sẽ tồn tại ước nguyên tố chung.
Gọi p là ước nguyên tố chung của \(a-b, 2a+2b+1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\)
Vì \((a-b)(2a+2b+1)=b^2\Rightarrow b^2\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} b\vdots p\\ a-b\vdots p\end{matrix}\right.\rightarrow a\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} a\vdots p\\ b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\) (vô lý)
Vậy $a-b,2a+2b+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của 2 số đó là một số chính phương nên bản thân mỗi số cũng là số chính phương.
Do đó \(2a+2b+1\) là số chính phương.
12 tháng 11 2016
a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có
b2 chia hết cho d2 => b chia hết cho d
Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau
Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương
12 tháng 11 2016
2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI
NC
1
C
17 tháng 3 2016
Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương
\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.
a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d
nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau
Áp dụng bổ đề có đpcm
TN
13 tháng 4 2017
Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)
Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;
\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)
Nó đủ để ta có thể thấy rằng
\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM
23 tháng 11 2018
Ta có \(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2a^2+a-3b^2-b=0\Leftrightarrow2a^2+2ab+a-2ab-2b^2-b=b^2\Leftrightarrow a\left(2a+2b+1\right)-b\left(2a+2b+1\right)=b^2\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
Gọi (a-b,2a+2b+1)=d\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮d\\\left(2a+2b+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+ab+1\right)⋮d^2\)\(\Rightarrow b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)
Mà (a-b)\(⋮d\)
Suy ra a\(⋮d\Rightarrow2a+2b⋮d\)
Mà (2a+2b+1)\(⋮d\)
Suy ra \(1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)
Vậy (a-b,2a+2b+1)=1\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{2a+2b+1}\) là phân số tối giản
Nếu \(a=0\) hoặc \(b=0\) thì \(a=b=0\to a-b=0,2a+2b+1=1\) là các số chính phương.
Xét trường hợp \(a,b\) là số nguyên dương.
Từ giả thiết suy ra \(2a^2+a-2b^2-b=b^2\to\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2.\)
Đặt \(d=UCLN\left(a-b,2a+2b+1\right)\to b^2\vdots d^2\to b\vdots d\to a\vdots d\to2a+2b\vdots d\to1\vdots d\to d=1.\)
Thành thử hai số \(a-b,2a+2b+1\) nguyên tố cùng nhau, có tích là số chính phương. Suy ra từng số phải là số chính phương (ĐPCM)