K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 2 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:  \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{2b+c}=\frac{1}{2c+a}\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a\)

31 tháng 1 2019

\(\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\le\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)

Tương tự:\(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)

Cộng theo vế ta được:

\(\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

30 tháng 4 2017

Có a,b,c>0;a+b>c,b+c>a,c+a>b

=>a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0

=>c2(a+b-c)>0,a2(b+c-a)>0,b2(c+a-b)>0

=>c2(a+b-c)+a2(b+c-a)+b2(c+a-b)>0

=>(đẳng thức đề bài) > 0

NV
11 tháng 3 2019

Với các số dương, áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\) ; \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{2a+b+c}\); \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{a+b+2c}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

11 tháng 3 2019

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\frac{1}{a+2b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế =>đpcm

NV
29 tháng 6 2019

\(S=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}=\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+2bc}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 4 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(B=\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2a)(b+2c)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\)

\(\geq \frac{9}{(a+2b)(a+2c)+(b+2a)(b+2c)+(c+2a)(c+2b)}\)

\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{(a^2+2ac+2ab+4bc)+(b^2+2bc+2ab+4ac)+(c^2+2bc+2ac+4ab)}\)

\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+6(ab+bc+ac)}(*)\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cô-si:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ac)(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow B\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}\)

(do \(a+b+c\leq 3)\)

Do đó: \(B_{\min}=\frac{1}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)