HD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DA
1
G
11 tháng 3 2019
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\frac{1}{a+2b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế =>đpcm
MN
1
17 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có: \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{2b+c}=\frac{1}{2c+a}\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a\)
WB
0
D
1
31 tháng 1 2019
\(\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\le\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự:\(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)
Cộng theo vế ta được:
\(\frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
30 tháng 3 2017
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\Rightarrow2\dfrac{1}{a+b}+2\dfrac{1}{b+c}+2\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge2\left(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\right)\left(ĐPCM\right)\)
30 tháng 3 2017
Ta có a,b>0, áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm:
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta có : (1/a+1/b)/2>=v(1/a*1/b)
=>1/a + 1/b >= 2*1/v(a*b)
mà v(a*b)<=(a+b)/2
=> 2*1/v(a*b) >= 2*1/((a+b)/2) = 4(a+b)
=>1/a + 1/b >= 4(a+b) (đpcm).
Cmr: 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)>=2(1/(2a+b+c) + 1/...
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta cũng áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm:
1/(a+b) + 1/(b+c) >=2*1/(v(a+b)*(a+c))
tương tự với 1/(a+b) + 1/(b+c) >= 2*1/(v(a+b)*(b+c))
tương tự với 1/(a+c) + 1/(b+c) >= 2*1/1/(v(a+c)*(b+c))
=>2(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c))>=2*[1/(v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+... (1)
mà v((a+b)*(a+c))<=(a+b+a+c)/2=(2a+b+c)
=>1v(a+b)*(a+c)>=2(2a+b+c)
tương tự ta có 1v(a+b)*(b+c)>=2(2b+a+c)
=> 1/[v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+c))+1/(v(a+b)... >=2[1/(2a+b+c) + 1/(2b+a+c) + 1/(2c+a+b)] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
tương tự ta có 1v(a+c)*(b+c)>=2(2c+a+b)
NL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2019
\(S=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}=\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+2bc}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
UH
1
PA
7 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\), ta có:
\(\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{c+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{a+c}+\dfrac{2}{b+c}\)
\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Với các số dương, áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\) ; \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{2a+b+c}\); \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{a+b+2c}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)