Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Căn là để làm màu,khử căn bằng cách bình phương
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c};\sqrt{d};\sqrt{e}\right)\rightarrow\left(x;y;z;t;v\right)\)
Khi đó ta cần chứng minh:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+v^2\ge x\left(y+z+t+v\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2+4t^2+4v^2-4xy-4xz-4xt-4xv\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)+\left(x^2-4xt+4t^2\right)+\left(x^2-4xv+4v^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-2z\right)^2+\left(x-2t\right)^2+\left(x-2v\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra tại x=2y=2z=2t=2v
\(Bdt\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)
- Nếu \(ac+bd< 0\). Bđt đúng
- Nếu \(ac+bd\ge0\).Thì (1) tương đương:
\(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy bài toán được chứng minh.
Lời giải:
Ta có:
\(\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(c+d)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2\)
\(\Leftrightarrow ac+ad+bc+bd\geq ac+bd+2\sqrt{acbd}\)
\(\Leftrightarrow ad+bc-2\sqrt{acbd}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2\geq 0\) (luôn đúng)
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $ad=bc$
Hoặc có thể áp dụng trực tiếp BĐT Bunhiacopxky:
\((a+b)(c+d)=[(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2][(\sqrt{c})^2+(\sqrt{d})^2]\)
\(\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) (đpcm)
Ta có : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ac+ad+bc+bd\ge ac+2\sqrt{acbd}+bd\)
\(\Leftrightarrow ad-2\sqrt{adbc}+bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi : \(ad=bc\)
Vậy ...
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(a+b\right)\left(c+d\right)=\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\left(\sqrt{c}^2+\sqrt{d}^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)
\(< =>\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\left(đpcm\right)\)
okey?
a, \(A=\sqrt{\left(1-x\right)^2}-1=\left|1-x\right|-1=1-x-1\)(vì x<1)
<=> A=\(-x\)
b,B=\(\frac{3-\sqrt{x}}{x-9}\left(x\ge0,x\ne9\right)\)
=\(\frac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\)
Vậy \(B=-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\)
c, C=\(\frac{x-5\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}\left(x\ge0,x\ne9\right)\)
=\(\frac{x-2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}\)=\(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-3}\)=\(\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-3}\)=\(\sqrt{x}-2\)
Vậy C= \(\sqrt{x}-2\)
d, D=\(5-3x-\sqrt{25-10x+x^2}\left(x< 5\right)\)
= \(5-3x-\sqrt{\left(5-x\right)^2}\)=\(5-3x-\left|5-x\right|\)=\(5-3x-5+x\) (vì x<5)=-2x
Vậy D=-2x
e, E=\(\sqrt{3a}.\sqrt{27a}\) (đk \(a\ge0\))
=\(\sqrt{3.27.a^2}=\sqrt{3^4}.a=9a\)
Vậy E=9a
f, F=\(\frac{1}{a-1}\sqrt{9\left(a-1\right)^2}\) (đk :a>1)
= \(\frac{1}{a-1}.3\left|a-1\right|\)=\(\frac{1}{a-1}.3\left(a-1\right)\) (vì a>1)=3
Vậy F=3
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{4}+b\geq 2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\frac{a}{4}+c\geq 2\sqrt{\frac{ac}{4}}=\sqrt{ac}\)
\(\frac{a}{4}+d\geq 2\sqrt{\frac{ad}{4}}=\sqrt{ad}\)
\(\frac{a}{4}+e\geq 2\sqrt{\frac{ae}{4}}=\sqrt{ae}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{ae}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{4}=b=c=d=e\)