K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 8 2017

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\\z=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\) và BĐT cần chứng minh là:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM ta có:

\(VT=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y=z=1 \Rightarrow a=b=c=1\)

4 tháng 8 2017

ai tick cho mik , mik tick lại cho !^__<hahanhớ giải câu hỏi nhé ! thanks

25 tháng 3 2017

2a)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+b+a+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\\\dfrac{1}{a+2b+c}=\dfrac{1}{a+b+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}=\dfrac{1}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ( đpcm )

\(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

2b)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a^2\ge2\sqrt{a^2}=2a\\1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\\1+c^2\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{b}{2b}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{c}{2c}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

24 tháng 3 2017

Bài 1)

Nháp : nhìn nhanh ta thấy nên áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Giải

Vì x,y > 0 =) 2x + y > 0 , x + 2y > 0

Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức cho hai bộ số không âm \(\dfrac{1}{2x+y}\)\(\dfrac{1}{x+2y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+y}\ge\dfrac{4}{x+2y+2x+y}=\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}=4\)

Dấu '' = "xảy ra khi và chỉ khi x + 2y = y + 2x (=) x=y

8 tháng 9 2017

Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\)

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=0\) thật vậy:

\(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=\dfrac{2.0}{abc}=0\)Tức là:\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(đpcm\right)\)

7 tháng 10 2018

Giả sử điều cần c/m là đúng

Ta có : \(a+b+c\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\left(\dfrac{ab+bc+ac}{abc}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a+b+c}\) ( do \(a+b+c=abc\) )

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )

\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)

31 tháng 12 2018

\(\text{Ta có: }\)\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow-ab=bc+ca\)

\(VT=\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{b^3c^3+a^3b^3+a^3c^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(bc+ca\right)^3-3abc^2\left(bc+ca\right)+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(-ab\right)^3+3\left(abc\right)^2+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{\left[-\left(ab\right)^3+\left(ab\right)^3+3\left(abc\right)^2\right]}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}=VP\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2018

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hoàng Tuấn - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

23 tháng 3 2018

Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)

Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

24 tháng 3 2018

Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v

Lời giải:

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)

\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2017

Lời giải:

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)=0\)

Cộng cả hai vế với \(a^2+b^2+c^2\) thì:

\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\)

Do đó ta có đpcm.

2 tháng 4 2017

\(VT=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+1}\)

\(VT=3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\c^2+1\ge2\sqrt{c^2}=2c\\a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\\\dfrac{bc^2}{c^2+1}\le\dfrac{bc^2}{2c}=\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ca^2}{2a}=\dfrac{ca}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 1 )

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\le3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 2 )

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

5 tháng 1 2018

quá hay !!!!