Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
điện thoại cùi nên chụp hơi mờ, đề này còn thiếu a,,bc>0
Xét \(\sqrt{\dfrac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+b+c\right)+bc\right)\left(b\left(a+b+c\right)+ac\right)}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}{ac+bc+c^2+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cho 2 đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế
\(P=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\)
b)Ta có: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4+c^4}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta xét BĐT phụ: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2xz\)
Cộng các BĐT phụ vừa chứng minh:
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Áp dụng vào bài, ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng lần nữa:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+bc^2a+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)\)
Vậy ta suy ra được điều phải chứng minh
a) Đặt vế trái BĐT là P
\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)8.8}}=\dfrac{3a}{4}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+a}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{8}+\dfrac{1+b}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh
\(P+\dfrac{6+2a+2b+2c}{8}\ge\dfrac{3a+3b+3c}{4}\)
\(P\ge\dfrac{3a+3b+3c}{4}-\dfrac{2\left(3+a+b+c\right)}{8}=\dfrac{3a+3b+3c-a-b-c-3}{4}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2.3-3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Tìm trước khi hỏi Câu hỏi của Phan Đình Trường - Toán lớp 8 | Học trực tuyến