DT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
1
PM
0
3 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)
Bất đẳng thức ban đầu tương đương với :
\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+1\right)+b\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+1\right)}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}a\left(b^2+1\right)\ge a.2\sqrt{b^2}=2ba\\b\left(c^2+1\right)\ge b.2\sqrt{c^2}=2cb\\c\left(a^2+1\right)\ge c.2\sqrt{a^2}=2ac\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(ab+bc+ca\le3\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
JK
3 tháng 2 2020
Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM−GM với mẫu số vì bất đẳng thức sẽ đổi chiều
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)\(\le\)\(\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM−GMcho 2 số 1+b2≥2b ở dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM−GMAM−GM, một kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ. Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài.
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với b,cb,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)
vì ta có ab+bc+ac≤3. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Với cách làm trên có thể xây dựng bất đẳng thức tương tự với 4 số.
Chúc bạn học tốt!!! k mình nha=))
13 tháng 8 2017
1) ta có: A= x^3 -8y^3=> A=(x-2y)(x^2 +2xy+4y^2)=>A=5.(29+2xy) (vì x-2y=5 và x^2+4y^2=29) (1)
Mặt khác : x-2y=5(gt)=> (x-2y)^2=25=> x^2-4xy+4y^2=25=>29-4xy=25(vì x^2+4y^2=29)
=> xy=1 (2)
Thay (2) vào (1) ta đc: A= 5.(29+2.1)=155
Vậy gt của bt A là 155
2) theo bài ra ta có: a+b+c=0 => a+b=-c=>(a+b)^2=c^2=> a^2 +b^2+2ab=c^2=>c^2-a^2-b^2=2ab
=> \(\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=4a^2b^2\)
=>\(c^4+a^4+b^4-2c^2a^2+2a^2b^2-2b^2c^2=4a^2b^2\)
=>\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
=>\(2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
=> \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) (đpcm)
NT
0