Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có tổng của hai số nghich dao luon lon hoac bang 2
lấyS1+S2+S3=
̣̣b/a*x+c/a*z + a/b*x+c/b*y + a/c*z+b/c*y=x*[a/b+b/a]+y*[c/b+b/c]+z*[a/c+c/a] lớn hơn hoặc bằng 2*[x+y+z]=2*1008=2016
vậy S1+S2+S3 lớn hơn hoặc bằng 2016
ta có tổng của hai số nghich dao luon lon hoac bang 2
lấyS1+S2+S3=
̣̣b/a*x+c/a*z + a/b*x+c/b*y + a/c*z+b/c*y=x*[a/b+b/a]+y*[c/b+b/c]+z*[a/c+c/a] lớn hơn hoặc bằng 2*[x+y+z]=2*1008=2016
vậy S1+S2+S3 lớn hơn hoặc bằng 2016
\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Ta có: Tổng hai số nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên:
\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3\ge x.2+y.2+z.2=2.\left(x+y+z\right)=2.5=10\)
Vậy suy ra điều phải chứng minh.
s1+s2+s3=b/a *x+c/a *z+a/b *x+c/b *y+a/c *z+b/c *y
=(b/a *x+a/b *x)+(c/b *y+b/c *y)+(a/c *z+c/a *z)
=(b/a+a/b)*x+(c/a+a/c)*z+(c/b+b/c)*y lớn hơn hoặc bằng 2*x+2*y+2*z=2*(x+y+z)=2*5=10
suy ra ĐPCM
\(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)y+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)z\)
(*)Ta cần CM bất đẳng thức sau: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Nhân ab vào 2 vế,ta được:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>BĐT đúng với mọi a;b
Tương tự,ta cũng có: \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
Do đó \(S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\left(đpcm\right)\)
S1 + S2 + S3 = \(\left(\frac{b}{a}.x+\frac{c}{d}.z\right)\) + \(\left(\frac{a}{b}.x+\frac{c}{b}.y\right)\) + \(\left(\frac{d}{c}.z+\frac{b}{c}.y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right).x+\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right).z+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right).y\ge2\left(x+y+z\right)=2.5=10\)
Vì \(\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge2;\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\ge2;\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge2\)
Vậy ........ dấu = xảy ra khi a = b = c = d
Ta có: \(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z+\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y+\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Vì \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2;\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.5=10\)
Vậy S1 + S2 + S3 \(\ge\)10
1.
S1+S2+S3= \(x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\) (1)
Xét \(\left(u-t\right)^2=\left(u-t\right)\left(u-t\right)=u^2+t^2-2ut\)
Vì \(\left(u-t\right)^2\ge0\Rightarrow u^2+t^2-2ut\ge0\Rightarrow u^2+t^2\ge2ut\)
Áp dụng vào biểu thức (1) có
S1+S2+S3= \(x\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+y\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+z\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\) \(\ge x\cdot2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+y\cdot2\sqrt{\frac{bc}{cb}}+z\cdot2\sqrt{\frac{ac}{ca}}=2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2\cdot5=10\)
Vậy S1+S2+S3\(\ge10\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c (> 0)
2.
\(M=\frac{21x+3}{6x+4}=\frac{3\left(7x+1\right)}{2\left(3x+2\right)}\)
Để M rút gọn được thì ta có 4 trường hợp sau
*TH1: \(3⋮\left(3x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(3x+2\right)\inƯ\left(3\right)=\left\{1;3\right\}\)\(\Rightarrow x=\left\{-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\}\left(loại\right)\)
*TH2: \(\left(7x+1\right)⋮2\Rightarrow\left(7x+1\right)\)là số tự nhiên chẵn
Cho (7x+1) = 2k \(\left(k\in N\right)\) => \(x=\frac{2k-1}{7}\)
Vậy với x = \(\frac{2k-1}{7}\)và (2k-1) là B(7) thì M có thể rút gọn được
*TH3: \(3\left(7x+1\right)⋮\left(3x+2\right)\Leftrightarrow21x+14-11⋮\left(3x+2\right)\Rightarrow\left(3x+2\right)\inƯ\left(11\right)=\left\{1;11\right\}\)
\(\Rightarrow x=\left\{-\frac{1}{3};3\right\}\)
Vậy x=3
*TH4 ( mẫu số lúc này chia hết cho tử, bạn tự khai triển ra sẽ có kết quả như TH3)
Kết luận : với khi x=3 hoặc x = \(\frac{2k-1}{7}\)và (2k-1) là B(7) thì M có thể rút gọn được
\(S1=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+....+\frac{2}{99.101}\)
\(S1=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-....-\frac{1}{101}=\frac{1}{1}-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}\)
\(S2=\frac{5}{1.3}+\frac{5}{3.5}+....+\frac{5}{99.101}\)
\(S2=\frac{5}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-.....-\frac{1}{101}\right)=\frac{5}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)=\frac{5}{2}\cdot\frac{100}{101}=\frac{250}{101}\)
Ta có:
\(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)y+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)z\)
Ta cần c/m bất đẳng thức : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\)
Nhân ab vào 2 vế ta có:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab>=2ab=>\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}>=2ab=>a^2+b^2>=2ab\)
\(=>a^2+b^2-2ab>=0=>\left(a-b\right)^2>=0\)
=>bất đẳng thức đúng với mọi a;b
chứng minh tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}>=2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}>=2\);Cộng từng vế các BĐT,ta thu được:
\(S_1+S_2+S_3>=2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\) (đpcm)