BT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HY
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
CMR: 1/a + 1/b + 1/c + 3/2 * (a+b+c) >= 15/2
1
KN
29 tháng 4 2020
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\right)+\left(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\right)\)
*Nháp*
Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó \(VT=\frac{15}{2}\)
Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+n\)(Ta thấy các hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu đều có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc là 2) (*)
Do đó ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge ma^2+n\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge mb^2+n\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge mc^2+n\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow m+n=\frac{5}{2}\Rightarrow n=\frac{5}{2}-m\)
Thay\(n=\frac{5}{2}-m\)vào (*), ta được: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+\frac{5}{2}-m\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{2x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{2x\left(x+1\right)}\)(**)
Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{4}\Rightarrow n=\frac{9}{4}\)
Như vậy, ta được BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)
GIẢI:
Ta có a,b,c là các số thực dương và \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt{3}\)
Ta chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))
\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{4x}\ge0\)(Đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))
Áp dụng ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge\frac{a^2+9}{4}\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge\frac{b^2+9}{4}\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge\frac{c^2+9}{4}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+9.3}{4}=\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
HL
1
TN
22 tháng 10 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{1+b^2}\ge a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab}{2}-\frac{b}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc}{2}-\frac{c}{2};\frac{c+1}{1+a^2}\ge a+1-\frac{ac}{2}-\frac{a}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)
Khi \(a=b=c=1\)
E
1
VT
25 tháng 10 2019
Thay 1=\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)vào va rút gọn ta được
VT= \(\frac{4}{3}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}\right)+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\)(1)
Áp dụng \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\left(bunhiacopxky\right)\) ta được
(1) \(\ge\frac{4}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right).\)
Dấu'=' khi a=b=c
PN
1
SL
0
T
8 tháng 3 2019
1/ Ta cần c/m: \(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Tức là \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có đpcm.
20 tháng 5 2019
\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{16}\le\frac{49}{16}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{4}\right]^2\le\frac{49}{16}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{-7}{4}\le2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{4}\le\frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{-3}{4}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le1\)
Có : \(\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\le\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=3\)
...