Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM lần lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM từng lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Dễ có:\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\le\left(\frac{3+a+b+c}{3}\right)^3\le8\)
Khi đó \(B\ge\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Lời giải:
Ta có:
$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=9-2(ab+bc+ac)$
Vì $a,b,c\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4(a+b+c)+abc-8$
Mà $4(a+b+c)+abc-8=4+abc\geq 4$ do $a,b,c\geq 0$
Do đó $2(ab+bc+ac)\geq 4$
$\Rightarrow P=9-2(ab+bc+ac)\leq 5$
Vậy $P_{\max}=5$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
Cauchy Schwars
\(M\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\Rightarrow M_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vay \(M_{min}=9\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT SVac.xơ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT Cô -si cho các số dương:
\((a+b+c)+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 2\sqrt{\frac{9}{4}}=3\)
\(a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{27}{4(a+b+c)}\geq \frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{15}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)