Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) Ta có : \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-2016\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(-2013\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=2013^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=2013^2\)( Do \(a+b+c=0\) )
+) Lại có : \(a^2+b^2+c^2=2016\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=2016^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2016^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2016^2-2.2013^2=-4040082\)
Hay : \(A=-4040082\)
Vậy \(A=-4040082\) với a,b,c thỏa mãn đề.
Do phương trình \(ax^2+bx+c\)vô nghiệm nên ta có:
\(b^2-4ac< 0\)
\(\Leftrightarrow4ac>b^2\)
Mà \(b>a>0\)
\(\Rightarrow c>0\)
Giả sử \(\frac{a+b+c}{b-a}>3\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>3b-3a\)
\(\Leftrightarrow4a+c>2b\)
Lại có: \(\left(4a+c\right)^2\ge16ac>4b^2\)
\(\Rightarrow4a+c>2b\)
Suy ra (1) đúng.
Vậy \(\frac{a+b+c}{b-a}>3\)
Từ đề bài suy ra \(0< a,b,c< 1\)
Ta có: \(P=a^2.\left(b^2.c^2\right).\left(b.c\right)\le a^2.\frac{\left(b^2+c^2\right)^2}{4}.\frac{b^2+c^2}{2}\)
\(=a^2.\frac{\left(b^2+c^2\right)^3}{8}=\frac{a^2\left(1-a^2\right)^3}{8}\)
Đặt \(1\ge a^2=t\ge0\). Khi đó \(P=\frac{t\left(1-t\right)^3}{8}=\frac{3t\left(1-t\right)\left(1-t\right)\left(1-t\right)}{24}\)
\(\le\frac{\left(\frac{3t+1-t+1-t+1-t}{4}\right)^4}{24}=\frac{27}{2048}\)
Dấu bằng tự xét!
Lời giải:
Áp dụng BĐT SVac.xơ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT Cô -si cho các số dương:
\((a+b+c)+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 2\sqrt{\frac{9}{4}}=3\)
\(a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{27}{4(a+b+c)}\geq \frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{15}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
a, ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}x^3+1\ne0\\x^9+x^7-3x^2-3\ne0\\x^2+1\ne0\end{cases}}\)
b, \(Q=\left[\left(x^4-x+\frac{x-3}{x^3+1}\right).\frac{\left(x^3-2x^2+2x-1\right)\left(x+1\right)}{x^9+x^7-3x^2-3}+1-\frac{2\left(x+6\right)}{x^2+1}\right]\)
\(Q=\left[\frac{\left(x^3+1\right)\left(x^4-x\right)+x-3}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^7-3\right)\left(x^2+1\right)}+1-\frac{2\left(x+6\right)}{x^2+1}\right]\)
\(Q=\left[\left(x^7-3\right).\frac{\left(x-1\right)}{\left(x^7-3\right)\left(x^2+1\right)}+1-\frac{2\left(x+6\right)}{x^2+1}\right]\)
\(Q=\frac{x-1+x^2+1-2x-12}{x^2+1}\)
\(Q=\frac{\left(x-4\right)\left(x+3\right)}{x^2+1}\)
Lời giải:
Ta có:
$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=9-2(ab+bc+ac)$
Vì $a,b,c\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4(a+b+c)+abc-8$
Mà $4(a+b+c)+abc-8=4+abc\geq 4$ do $a,b,c\geq 0$
Do đó $2(ab+bc+ac)\geq 4$
$\Rightarrow P=9-2(ab+bc+ac)\leq 5$
Vậy $P_{\max}=5$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.