Question

[Nguyễn Thu Hằng]

Cho a,b dương và a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ = a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹ = a²⁰¹² + b²⁰¹² Tính a²⁰¹³ + b²⁰¹³

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Ta có: 

\(a^{2010}+b^{2010}+a^{2012}+b^{2012}\)

\(=\left(a^{2010}+a^{2012}\right)+\left(b^{2010}+b^{2012}\right)\ge2a^{2011}+2b^{2011}\)

Dấu = xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^{2010}=a^{2012}\\b^{2010}=b^{2012}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=2\)

Answer 2

[Võ Thị Quỳnh Giang]

giải cách nầy hợp lý hơn nè :

ta có: \(a^{2012}+b^{2012}=\left(a^{2011}+b^{2011}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\)   (1)

mà \(a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}\) nên

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^{2010}+b^{2010}=\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\left(1-a-b+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^{2010}+b^{2010}=0\\1-a-b+ab=0\end{cases}}\)

+) với \(a^{2010}+b^{2010}=0\)

mà a>0 ; b>0 => ko có giá trị của a;b

+) với  1-a-b+ab=0

\(\Rightarrow\left(1-a\right)-b\left(1-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)=0\)  

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}1-a=0\\1-b=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}}\)

TH1: a=1=> b^2010 =b^2011 =>\(\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\)=> b=1 vì b>0

=> a^2013 +b^2013=2

TH2: b=1 => a^2010 +a^2011=>\(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\)=> a=1 vì a>0

=> a^2013 +b^2013 =2

Vậy a^2013 +b^2013 =2