WB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
0
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 10 2019
\(P=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{8}{ab}\ge\frac{8\left(a^2+b^2\right)^2}{2}+\frac{32}{\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+32=1+32=33\)
\(\Rightarrow P\ge33\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn ghi nhầm đề thì phải
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
6 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
HN
1
15 tháng 4 2019
Đặt \(M=\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a+c}{b}+\frac{4a}{a+c}+\frac{4b}{a+c}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{a+c}\right)+\left(\frac{a+c}{b}+\frac{4b}{a+c}\right)-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}}+2.\sqrt{\frac{c+a}{a}.\frac{4a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{a+c}{b}.\frac{4b}{a+c}}-1=2+4+4-1=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c ( tự giải cụ thể nhé ).
Bài này hình như thừa điều kiện abc=1.
Nếu có chỗ nào sai sót xin chỉ giáo.