\\(2\\sqrt{xy}+\\sqrt{xz}=1\\). CMR:...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 9 2020

ko bt nha

22 tháng 3 2019

lon ok

8 tháng 12 2019

Yes.

21 tháng 9 2018

\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow xyz\le1\)

\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)

Ta co:

\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)

\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)

25 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))

Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)

\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)

\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)

\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)

\(\ge xy+yz+zx\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

1 tháng 2 2017

B1:x^2+2016=xy+yz+xz+x^2=...

tuong tu

y^2+2016=... ; z^2+2016=....

B2:bdt am-gm

1 tháng 2 2020

Theo đề ta có :

\(2\sqrt{y}+\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\ 2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1\left(1\right)\)

\(A=\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}=\left(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)+2\\ \left(\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}\right)+3\left(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\right)\ge2z+4y+6x\\ =4\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)\ge8\sqrt{xy}+4\sqrt{xz}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra : A\(\ge4\)

Vậy MinA = 4 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

6 tháng 5 2020

xin hỏi có thể giải thích hàng thứ 3 hôn ạ!!!!

\n
10 tháng 6 2019

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\Rightarrow a+b+c=2\)

Khi đó \(S=\Sigma\sqrt{\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{ab}{2}+c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}\)

                                                  \(=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+bc+ca+c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cô-si có

\(S\le\frac{\Sigma\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

10 tháng 6 2019

thank đay là đề thi chuyên toán 

NV
29 tháng 2 2020

\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)

Vậy:

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{1+4xy}+\frac{\left(y+z\right)^2}{1+4yz}+\frac{\left(z+x\right)^2}{1+4zx}\right]\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{3+4\left(xy+yz+zx\right)}\right]\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{9}{3+\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

4 tháng 3 2020

\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\) mà sao thế vào là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)^2\) vậy ạ?

13 tháng 8 2016

Ta có x√(1-y2)<= (x+ 1 - y2)/2

y√(1-z2)<=  (y+1 - z2)/2

z√(1- x2)<= (z+ 1 - x2)/2

=>x√(1-y2) +y√(1-z2)z+√(1- x2)<=3/2

Đấu đẳng thức xảy ra khi: x2 = 1 - y2

y= 1-z2

z = 1- x2

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh

13 tháng 8 2016

Thanks nhiều