Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)(BĐT Bunhiacopxki)
\(=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>1\)
Vậy bài toán ko giải đc; Nếu mk làm sai thì thứ lỗi vì mk năm nay mới lên lớp 8
\(S=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\)
\(S=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca}\)
\(S\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
\(S_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
GTNN của S hoàn toàn không cần đến điều kiện \(abc=1\), nó luôn bằng 1 với mọi số thực dương a;b;c (nên điều kiện \(abc=1\) là thừa)
Do \(x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x^{2016}\le1\\0\le y^{2016}\le1\\0\le z^{2016}\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2017}\le x^{2016}\\y^{2017}\le y^{2016}\\z^{2017}\le z^{2016}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
\(\Rightarrow P=1\)
Gọi \(d=ƯC\left(m^2+n^2;m+n\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+n\right)^2-\left(m^2+n^2\right)⋮d\Rightarrow2mn⋮d\)
TH1: \(2⋮d\Rightarrow d_{max}=2\) khi \(m;n\) cùng lẻ
TH2: \(m⋮d\) , mà \(m+n⋮d\Rightarrow n⋮d\)
\(\Rightarrow d=ƯC\left(m;n\right)\Rightarrow d=1\)
Th3: \(n⋮d\) tương tự như trên ta có \(d=1\)
Vậy ước chung lớn nhất A; B bằng 2 khi m; n cùng lẻ
Từ giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
+) Nếu x + y = 0 hoặc z + x = 0 thì ta không tính được giá trị biểu thức.
+) Nếu y + z = 0 thì \(y=-z\Leftrightarrow y^{2017}=-z^{2017}\Leftrightarrow y^{2017}+z^{2017}=0\)
Suy ra \(\left(x^{2016}+y^{2016}\right)\left(y^{2017}+z^{2017}\right)\left(x^{2018}+z^{2018}\right)=0\)
Ứng dụng của tam thức bậc hai.
Bạn tham khảo :
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(2016^2+a^2+b^2+c^2+d^2-2016\left(a+b+c+d\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2016^2-2016\left(a+b+c+d\right)+a^2+b^2+c^2+d^2\ge0\)
Xét tam thức bậc hai:
\(f\left(a\right)=2016^2-2016\left(a+b+c+d\right)+a^2+b^2+c^2+d^2\)
Ta có:
\(\Delta=\left(a+b+c+d\right)^2-4\left(a+b+c+d\right)\)
Theo bất đẳng thức BCS, ta có:
\(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
\(\Rightarrow\Delta=\left(a+b+c+d\right)^2-4\left(a+b+c+d\right)\le0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\)
Từ đó ta có đpcm.
Theo bđt Bunhiacopxki, ta có \(\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\)\(\Rightarrow2016^2+a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}+2016^2\ge\)
\(\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}.2016^2}=2016\left(a+b+c+d\right)\)
Vậy ta có đpcm
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
Tới đây bạn tự làm được rồi ^^
Ta có: \(x\left(x+1\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1\)
Ta có: x5 + x4 - x3 + 1 = (x5 + x4) - x3 + 1 = x3 - x3 + 1 = 1
x2 + x - 3 = x(x + 1) - 3 = - 2
x5 + x4 - x3 - 22016 = - 22016
Từ đó ta có
\(=1^{2017}+\frac{\left(-2\right)^{2016}}{-2^{2016}}=1-1=0\)
Ta có: \(x^2\text{+}x-1=...=0 \)
\(=>x^3\left(x^2\text{+}x-1\right)=0\)
=> \(x^5\text{+}x^4-x^3=0\)
=> A=\(\left(\left(x^5\text{+}x^4-x^3\right)\text{+}1\right)^{2017}\text{+}\frac{\left(\left(x^2\text{+}x-1\right)-2\right)^{2016}}{\left(x^5\text{+}x^4-x^3\right)-2^{2016}}\)
=\(1^{2017}\text{+}\frac{2^{2016}}{-2^{2016}}=1-1=0\)