Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a và b là 2 số có tổng chia hết cho 10
Nên tổng các chữ số tận cùng của 2 số này chia hết cho 10
-) Nếu chữ số tận cùng của a và b bằng nhau
Thì chữ số tận cùng của a và b đều là 5 hoặc 0
Do đó a2 và b2 có cùng chữ số tận cùng
-) Nếu chữ số tận cùng của a lớn hơn b ( làm tương tự với c
+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 6
Do đó chữ số tận cùng của b bằng 4
Hai số này bình phương có cùng chữ số tận cùng là 6
+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 7
Do đó chữ số tận cùng của b bằng 3
Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 9
+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 8
Do đó chữ số tận cùng của b bằng 2
Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 4
+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 9
Do đó chữ số tận cùng của b bằng 1
Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 1
Vậy a2 và b2 có chữ số tận cùng giống nhau khi a và b có tổng chia hết cho 10
a5 - a = a.(a4 - 1) = a.(a2 - 1).(a2 + 1) = a.(a - 1).(a + 1).(a2 + 1) (*)
Dễ thấy a.(a - 1).(a + 1) chia hết cho 2 và 3 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> a5 - a chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => a5 - a chia hết cho 6 (1)
Ta đã biết số chính phương a2 khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4
+ Nếu a2 chia 5 dư 0, do 5 nguyên tố nên a chia hết cho 5
Từ (*) => a5 - a chia hết cho 5
+ Nếu a2 chia 5 dư 1 => a2 - 1 chia hết cho 5
Từ (*) => a5 - a chia hết cho 5
+ Nếu a2 chia 5 dư 4 => a2 + 1 chia hết cho 5
Từ (*) => a5 - a chia hết cho 5
Như vậy, a5 - a luôn chia hết cho 5 với mọi a ϵ Z (2)
Từ (1) và (2), do (5;6)=1 => a5 - a chia hết cho 30 (')
=> a5 - a có tận cùng là 0 hay a5 và a có chữ số tận cùng giống nhau (")
(') và (") chính là đpcm
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.