Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le(x.21+x.21+y.21+y.21+x.1−x2+y.1−x2)2≤
\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)(x2+x2+y2+y2+x2+y2)(41+41+41+41+1−x2+1−y2)
tức là \left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)(x+y+x1−y2+y1−x2)2≤(3x2+3y2)(3−x2−y2)
Suy ra x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}x+y+x1−y2+y1−x2≤3.(x2+y2)(3−x2−y2)
\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}≤3.2(x2+y2)+(3−x2−y2)
hay x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}x+y+x1−y2+y1−x2≤233 (đpcm)
Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1+bc1+ca1+a1+b1+c1=6
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2 ta có
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1+bc1+ca1≤a21+b21+c21 (1)
Lại áp dụng x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1, ta có \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1≤21(1+a21), do đó
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1+b1+c1≤21(a21+b21+c21)+23 (2)
Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được
6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23(a21+b21+c21)+23
Suy ra 3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21+b21+c21 (đpcm)
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1 : Thực hiện phép tính :
a ) \(\sqrt{9-2\sqrt{20}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)
\(=\sqrt{5-2\sqrt{20}+4}+\sqrt{7-2\sqrt{35}+5}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}^2\)
\(=\sqrt{5}-2+\sqrt{7}-\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{7}-2\)
b ) \(\sqrt{5-\sqrt{21}}-\sqrt{5+\sqrt{21}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{2\left(5-\sqrt{21}\right)}{2}}-\sqrt{\dfrac{2\left(5+\sqrt{21}\right)}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{10-2\sqrt{21}}{2}}-\sqrt{\dfrac{10+2\sqrt{21}}{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{7-2\sqrt{21}+3}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{7+2\sqrt{21}+3}}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\)
