Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=x\\ \log_bc=y\\ \log_ca=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_ba=\frac{1}{x}\\ \log_cb=\frac{1}{y}\\ \log_ac=\frac{1}{z}\end{matrix}\right. \). và \(xyz=1\)
Do \(a,b,c>1\Rightarrow x,y,z>0\)
Ta có:
\(P=\log_a(bc)+\log_b(ac)+4\log_c(ab)\)
\(=\log_ab+\log_ac+\log_ba+\log_bc+4\log_ca+4\log_cb\)
\(=x+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+y+4z+\frac{4}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{1}=2\\ y+\frac{4}{y}\geq 2\sqrt{4}=4\\ \frac{1}{z}+4z\geq 2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\geq 2+4+4=10\)
\(\Rightarrow m=10\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\rightarrow x=1\\ y=\frac{4}{y}\rightarrow y=2\\ \frac{1}{z}=4z\rightarrow z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Suy ra \(n=\log_bc=y=2\)
\(\Rightarrow m+n=12\)
\(a^2+4b^2=23ab\Rightarrow a^2+4ab+4b^2=27ab\Rightarrow\left(a+2b\right)^2=27ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+2b\right)^2}{9}=3ab\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=3ab\)
Lấy logarit cơ số c hai vế:
\(log_c\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=log_c\left(3ab\right)\)
\(\Rightarrow2log_c\dfrac{a+2b}{3}=log_c3+log_ca+log_cb\)
\(\Rightarrow log_c\dfrac{a+2b}{3}=\dfrac{1}{2}\left(log_ca+log_cb+log_c3\right)\)
Bài 1:
\(A=\log_380=\log_3(2^4.5)=\log_3(2^4)+\log_3(5)\)
\(=4\log_32+\log_35=4a+b\)
\(B=\log_3(37,5)=\log_3(2^{-1}.75)=\log_3(2^{-1}.3.5^2)\)
\(=\log_3(2^{-1})+\log_33+\log_3(5^2)=-\log_32+1+2\log_35\)
\(=-a+1+2b\)
Bài 2:
\(\log_{30}8=\frac{\log 8}{\log 30}=\frac{\log (2^3)}{\log (10.3)}=\frac{3\log2}{\log 10+\log 3}\)
\(=\frac{3\log (\frac{10}{5})}{1+\log 3}=\frac{3(\log 10-\log 5)}{1+\log 3}=\frac{3(1-b)}{1+a}\)
Lời giải:
Sử dụng công thức \(\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\ln 2}{\ln 3}.\frac{\ln 3}{\ln 4}.\frac{\ln 4}{\ln 5}....\frac{\ln 15}{\ln 16}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\ln 2}{\ln 16}=\log_{16}2=\frac{1}{4}\)
Đáp án C.
Lời giải:
Ta có \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=\frac{b}{4}\\ \log_2a=\frac{16}{b}\end{matrix}\right.\Rightarrow 4=\log_2a.\log_ab=\log_2b\)
\(\Rightarrow b=16\).
\(\log_2a=\frac{16}{b}=1\Rightarrow a=2\)
Do đó \(a+b=18\). Đáp án D.
Câu 1:
Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3>x^2+mx+1\\x^2+mx+1>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\in R\)
Xét BPT đầu tiên:
\(\Leftrightarrow x^2-mx+2>0\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-8< 0\Rightarrow-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)
Xét BPT thứ 2:
\(x^2+mx+1>0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Rightarrow-2< m< 2\)
Kết hợp lại ta được \(-2< m< 2\)
Câu 2:
\(\left|x+2+\left(y-3\right)i\right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích z là các điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;3\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\)
Gọi \(A\left(-1;-6\right);B\left(7;2\right)\) và \(C\left(3;-2\right)\) là trung điểm AB
\(\Rightarrow P=\left|z+1+6i\right|+\left|z-7-2i\right|=MA+MB\)
Gọi d là đường thẳng qua C và I, cắt đường tròn (C) tại D trong đó I nằm giữa C và D
\(\Rightarrow P_{max}\) khi \(M\equiv D\)
\(\overrightarrow{CI}=\left(-5;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng CI nhận \(\overrightarrow{n_{CI}}=\left(1;1\right)\) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\)Phương trình CI: \(x+y-1=0\)
Tọa độ D là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=1-x=5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=5\end{matrix}\right.\)