Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$
$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$
$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\) (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng ta có
\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+2z+x}\ge\frac{4}{2\left(x+2y+z\right)}=\frac{2}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+2x+y}\ge\frac{2}{x+y+2z}\)
\(\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{x+2y+z}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)
Cộng các vế của các bđt trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
ngu người
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
chó ngu
im mồm