Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Từ giả thiết => a1+a2+a3<3a3
a4+a5+a6<3a6
a7+a8+a8<3a9
=>\(a_1+a_2+...+a_9< 3\left(a_3+a_6+a_9\right)\Leftrightarrow\dfrac{a_1+a_2+...+a_9}{a_3+a_6+a_9}< 3\left(ĐPCM\right)\)
b)Câu này phải là \(\ge\) chứ không phải > nha bạn:
Ta có:
(a-b)2\(\ge\)0 với mọi ab
<=>a2+b2\(\ge\)2ab(1) với mọi ab
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a-b)2=0 <=> a=b
Chứng minh tương tự ta được a2+1\(\ge\)2a(2) ; b2+1\(\ge\)2b(3)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=1 ; b=1
Cộng vế với vế của (1);(2) và (3):
2(a2+b2+1)\(\ge\)2(ab+a+b)
<=> a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=1\\a=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}a=b=1\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)