Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)-->ad<bc (b,d>0)
Gỉa sử \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{ab+cd}{b^2+d^2}\) đúng
a (b2+d2)<b(ab+cd) (b,d>0)
<=> ab2+ad2<ab2+bcd
<=> ad2-bcd<0
<=> d(ad-bc)<0 (*)
mà d>0; ad<bc(cmt)--> ad-bc<0
nên (*) đúng.
cm tiếp vế kia cũng như thế rồi kết luận
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
\(2a^2+2b^2+2ab+2ac+2bc< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2-c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2< c^2-\left(a+b+c\right)^2\le c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2< c^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(3=1.3=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\) (1)
Lại có: \(\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}\) .Cộng các bất đẳng thức theo vế được: \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le1\) (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có điều phải chứng minh.
a) \(\begin{cases}x^2-5x+6<0\\ax+4<0\end{cases}\)
bất phương trình đầu có nghiệm là 1 < x < 6
Xét a = 0 => bpt thứ hai vô nghiệm (4 < 0) => Hệ vô nghiệm
Xét a > 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x < -4/a < 0 => kết hợp với 1 < x < 6 thì hệ vô nghiệm
Xét a < 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x > -4/a. Kết hợp với 1 < x < 6 thì để hệ có nghiệm thì -4/a <6 => -4 > 6a => a < -4/6 = -2/3, thỏa mãn đk a <0
ĐS: a < -2/3
b) bpt thứ nhất có nghiệm là x > 1.
bpt thứ hai có dạng: (x - a)2 +1 - a2 < 0; (x - a)2 < a2 - 1
Nếu a2 - 1 < 0, tức là -1 < a < 1 thì bpt trên vô nghiệm,
Nếu a < -1 hoặc a > 1 thì bpt trên có nghiệm là \(-\sqrt{a^2-1}+a\le x\le\sqrt{a^2-1}+a\)
Kết hợp với nghiệm x > 1 thì để hệ có nghieemh ta phải có \(\sqrt{a^2+1}+a>1\) => \(\sqrt{a^2+1}>1-a\), nếu a>1 thì luôn đúng, còn nếu a < -1 thì a2 + 1 > 1 - 2a + a2 =>a >0 (mâu thuẫn với a < -1)
KL: với a > 1 thì hệ bpt có nghiệm
a) Từ giả thiết => a1+a2+a3<3a3
a4+a5+a6<3a6
a7+a8+a8<3a9
=>\(a_1+a_2+...+a_9< 3\left(a_3+a_6+a_9\right)\Leftrightarrow\dfrac{a_1+a_2+...+a_9}{a_3+a_6+a_9}< 3\left(ĐPCM\right)\)
b)Câu này phải là \(\ge\) chứ không phải > nha bạn:
Ta có:
(a-b)2\(\ge\)0 với mọi ab
<=>a2+b2\(\ge\)2ab(1) với mọi ab
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a-b)2=0 <=> a=b
Chứng minh tương tự ta được a2+1\(\ge\)2a(2) ; b2+1\(\ge\)2b(3)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=1 ; b=1
Cộng vế với vế của (1);(2) và (3):
2(a2+b2+1)\(\ge\)2(ab+a+b)
<=> a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=1\\a=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}a=b=1\)