Question

[Luu Thanh Dat]

mọi người cho mình hỏi là mọi người có những dạng bài toán chia hết nào ko?Cho mình biết với!

Answer 1

[cường xo]

Bài 1: Tìm n∈Nn∈N sao cho 2n−1⋮72n−1⋮7
Giải:
Nếu n=3k(k∈N)n=3k(k∈N) thì 2n−1=23k−1=8k−1⋮72n−1=23k−1=8k−1⋮7
Nếu n=3k+1(k∈N)n=3k+1(k∈N) thì 2n−1=23k+1−1=2(23k−1)+1=7m+12n−1=23k+1−1=2(23k−1)+1=7m+1
Nếu n=3k+2(k∈N)n=3k+2(k∈N) thì 2n−1=23k+2−1=4(23k−1)+3=7m+32n−1=23k+2−1=4(23k−1)+3=7m+3
Vậy: 2n−1⋮72n−1⋮7khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n ∈ N để:
a)3n−1⋮8a)3n−1⋮8
b)A=32n+3+24n+1⋮25b)A=32n+3+24n+1⋮25
c)5n−2n⋮9c)5n−2n⋮9

Giải:

a) Khi n = 2k (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = 9^k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
Khi n = 2k + 1 (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^{2k + 1}  – 1 = 3. (9^k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3ⁿ – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k ∈ N)
b) A = 3^{2n + 3} + 2^{4n + 1} = 27 . 3²ⁿ + 2.2⁴ⁿ =  (25 + 2) 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ = 25. 3²ⁿ  + 2.3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ
= BS 25 + 2(9ⁿ  + 16ⁿ)
Nếu n = 2k +1(k ∈ N) thì 9ⁿ  + 16ⁿ = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k  (k ∈ N) thì 9ⁿ có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16ⁿ có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2((9ⁿ  + 16ⁿ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 5ⁿ – 2ⁿ = 5^3k – 2^3k chia hết cho 5³ – 2³ = 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5ⁿ – 2ⁿ =  5.5^3k – 2.2^3k = 5(5^3k – 2^3k) + 3. 2^3k = BS 9 + 3. 8^k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)^k = BS 9 + BS 9 + 3
Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9

Dạng 2: Tìm điều kiện chia hết

Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A=n3+2n2−3n+2,B=n2−nA=n3+2n2−3n+2,B=n2−n
Giải: Đặt tính chia:

Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)
Ta có:

n	1	-1	2	-2
n-1	0	-2	1	-3
n(n-1)	0	2	2	6
	loại			loại

Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 2:
Tìm số nguyên dương n để n5+1⋮n3+1.n5+1⋮n3+1.
Giải: Ta có
n5+1⋮n3+1⇔n2(n3+1)−(n2−1)⋮(n+1)(n2−n+1)⇔(n−1)(n+1)⋮(n+1)(n2−n+1)⇔n−1⋮n2−n+1(n+1≠0)n5+1⋮n3+1⇔n2(n3+1)−(n2−1)⋮(n+1)(n2−n+1)⇔(n−1)(n+1)⋮(n+1)(n2−n+1)⇔n−1⋮n2−n+1(n+1≠0)

Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n−1<n(n−1)+1=n2−n+1n−1<n(n−1)+1=n2−n+1, do đó không thể chia hết cho n2−n+1.n2−n+1.

Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
Ví dụ 3:
Tìm số nguyên n để n5+1⋮n3+1.n5+1⋮n3+1.
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
n−1⋮n2−n+1⇒n(n−1)⋮n2−n+1⇒n2−n⋮n2−n+1⇒(n2−n+1)−1⋮n2−n+1⇒1⋮n2−n+1n−1⋮n2−n+1⇒n(n−1)⋮n2−n+1⇒n2−n⋮n2−n+1⇒(n2−n+1)−1⋮n2−n+1⇒1⋮n2−n+1
Có hai trường hợp
n2−n+1=1⇔n(n−1)=0⇔n=0;n=1.n2−n+1=1⇔n(n−1)=0⇔n=0;n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
n2−n+1=−1⇔n2−n+2=0n2−n+1=−1⇔n2−n+2=0   Không tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 4:
Tìm số tự nhiên n sao cho 2n−1⋮7.2n−1⋮7.
Giải:
Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2ⁿ -1 = 2^3k -1 = 8^k -1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì
2ⁿ -1= 2^3k+1 – 1=2(2^3k -1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì
2ⁿ -1= 2^3k+2 -1 =4(2^3k – 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2ⁿ -1 chia hết cho 7 n = 3k(k ∈ N).

*Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a+2⋮6a2+3a+2⋮6
Giải:
Ta có a2+3a+2=(a+1)(a+2)a2+3a+2=(a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó a2+3a+2⋮3⇔a2+2⋮3⇔a2=3k+1⇔a⋮̸3.a2+3a+2⋮3⇔a2+2⋮3⇔a2=3k+1⇔a⋮̸3.

Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a4−1⋮240.a4−1⋮240.

Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a2+b2+c2a2+b2+c2  cũng là số nguyên tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 22+32+52=3822+32+52=38 là hợp số (loại)
Còn 32+52+72=8332+52+72=83 là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a2,b2,c2a2,b2,c2 đều chia cho 3 dư 1 nên
a2+b2+c2a2+b2+c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3+b3+c3⋮6a3+b3+c3⋮6

Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Bài 3: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A=13+23+33+…+993+1003B=1+2+3+…+99+100.A=13+23+33+…+993+1003B=1+2+3+…+99+100.

Bài 4. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a2+b2=c2a2+b2=c2 thì abc chia hết cho 60.

Dạng 3: Tìm số dư

Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 21002100
a) cho 9;            b) cho 25;           c) cho 125.
Giải:
a) Lũy thừa của 2 sát với một bội số của 9 là 2³ = 8 = 9-1
Ta có 2¹⁰⁰ =2( 2³)³³ = 2(9-1)³³=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 9 là 7.
b) Lũy thừa của 2 sát với bội số của 25 là
2¹⁰ = 1024 =B(25) -1
Ta có  2¹⁰⁰= (2¹⁰)¹⁰ =(B(25) -1)¹⁰ =B(25) +1
Số dư khi chia 2¹⁰⁰ cho 25 là 1.
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2¹⁰⁰ = (5 – 1)⁵⁰ =5⁵⁰-50.50⁴⁹+….+-50.5+1.
Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa lũy thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết  cho 125, số hạng cuối là 1 .
Vậy 2¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1.

Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ khi viết trong hệ thập phân.
Giải: Theo ví dụ trên ta có
2¹⁰⁰ = BS 125 +1,mà 2¹⁰⁰ là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876.
Mà 2¹⁰⁰ chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.
Vậy ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ là 376.
Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n¹⁰⁰ là 376.
Ví dụ 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ viết trong hệ thập phân.
Giải: 
Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó
5¹⁹⁹⁴=5^4k+2 =25(5^4k)=25(0625)^k
= 25.(…0625)  = …..5625
Cách 2. Ta thấy 5^4k -1 chia hêt cho 5⁴ -1
= (5² -1)(5² +1) nên chia hết cho 16.
Ta có: 5¹⁹⁹⁴ = 5⁶( 5³³² -1) +5⁶
Do 5⁶ chia hết cho 5⁴, còn 5³³² -1 chia hết cho 16 nên 5⁶( 5³³² -1) chia hết cho 10000
Và 5⁶ = 15625.
Vậy 4 chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7ⁿ và 7ⁿ⁺⁴ có hai chữ số tận cùng như nhau.
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?
– Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
  Giải: Xét hiệu của 7^{n +4}– 7ⁿ = 7ⁿ( 7⁴ -1)
= 7ⁿ .2400
Do đó 7ⁿ⁺¹ và 7ⁿ có chữ số tận cùng giống nhau.
2.Tìm số dư của 22²²+55⁵⁵ cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
Giải: Ta có  22²² + 55⁵⁵ =(B(7) +1)²² +(B(7) -1)⁵⁵
                                                               = B(7) +1+ B(7) -1
= B(7)
Vậy22²² + 55⁵⁵ chia hết cho 7

Answer 2

[Luu Thanh Dat]

Thanks bạn nhều