Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương
\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)
Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)
Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)
Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)
Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)
\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)
\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)
Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)
ta có : \(u_n=\frac{1+2^m}{2^m}\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{1+2^m}{2^m}\right)=lim\left(1+\frac{1}{2^m}\right)=1\)
\(u_1=\sqrt{3}=tan\frac{\pi}{3}\)
Mặt khác \(tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_n.tan\frac{\pi}{8}}\)
Nhìn công thức \(u_{n+1}\) có dạng \(tan\left(a+b\right)\) nên ta thay thử vài giá trị tìm quy luật
\(u_2=\frac{u_1+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.u_1}=\frac{tan\frac{\pi}{3}+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\frac{\pi}{3}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)\)
\(u_3=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right).tan\frac{\pi}{8}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+2.\frac{\pi}{8}\right)\)
Dự đoán số hạng tổng quát có dạng: \(u_n=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(n-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Giả sử công thức đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(u_{k+1}=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\)(các số hạng đầu đã kiểm tra nên chứng minh quy nạp chắc khỏi cần kiểm tra lại)
Thật vậy, với \(n=k+1\) ta có:
\(u_{k+1}=\frac{u_k+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_k.tan\frac{\pi}{8}}=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\) (đpcm)
Đề bài sai.
Với \(\left[{}\begin{matrix}u_1>2+\sqrt{2}\\u_1< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì dãy không có giới hạn (tiến tới âm vô cực)
\(u_3=u_1-u_2=6\)
\(u_4=u_2-u_3=3\)
\(u_5=u_3-u_4=3\)