Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khai triển: \(\left(x+y\right)^2+\left(xy-1\right)\left(x+y\right)+\left(xy-5\right)=0\).
Ta coi như là một phương trình bậc hai ẩn \(x+y\).
\(\Delta=\left(xy-1\right)^2-4\left(xy-5\right)=\left(xy-3\right)^2+12\)
Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) chính phương, cộng với \(\left(xy-3\right)^2\) đã là một số chính phương.
Nghĩa là ta cần tìm 2 số chính phương hơn kém nhau 12 đơn vị. Đó là số 4 và 16.
Tức là \(\left(xy-3\right)^2=4\) (số chính phương nhỏ hơn)
Hay \(xy=5\) hoặc \(xy=1\).
Thử lại thì \(x=y=1\) hoặc \(x=y=-1\)
Ta có
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y+z}{12}+\frac{y+2z}{18}\ge\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}\ge-\frac{y+z}{12}-\frac{y+2z}{18}+\frac{x}{2}=\frac{18x-7z-5y}{36}\)
Tương tự ta có
\(\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}\ge\frac{18y-7x-5z}{36}\)
\(\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\ge\frac{18z-7y-5x}{36}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(A\ge\frac{18x-7z-5y}{36}+\frac{18y-7x-5z}{36}+\frac{18z-7y-5x}{36}\)
\(=\frac{x+y+z}{6}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{6}=\frac{3.2}{6}=1\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
Bạn tham khảo sol ở đây nhé !
IMO ShortList 1998, number theory problem 1
Hơi bị gắt đó,IMO 1998 ( mặc dù đề lệch 1 tẹo so với IMO )
Rảnh thì tớ sẽ sol cho các bạn xem,cậu vào TKHĐ của tớ là thấy link nhé !!!