Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta chứng minh đẳng thức sau:
Với mọi số thực x, ta luôn có:
\(\left[3x\right]=\left[x+\frac{2}{3}\right]+\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x\right]\) (1)
Thật vậy, đặt \(x=\left[x\right]+\left\{x\right\}\)
\(\Rightarrow\left[3x\right]=\left[3\left[x\right]+3\left\{x\right\}\right]=3\left[x\right]+\left[3\left\{x\right\}\right]\)
\(\left[x+\frac{2}{3}\right]=\left[\left[x\right]+\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=\left[x\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]\)
\(\left[x+\frac{1}{3}\right]=\left[\left[x\right]+\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=\left[x\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)
Thay vào (1) trở thành:
\(\left[3\left\{x\right\}\right]=\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\) (2)
Vậy ta chỉ cần chứng minh (2)
- Nếu \(\left\{x\right\}\ge\frac{2}{3}\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=2\) ; \(\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=1\); \(\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=1\)
\(\Rightarrow2=1+1\) (đúng)
- Nếu \(\left\{x\right\}< \frac{1}{3}\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=0\); \(\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=0\); \(\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=0\)
\(\Rightarrow0=0+0\) (đúng)
- Nếu \(\frac{1}{3}\le\left\{x\right\}< \frac{2}{3}\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=1\) ; \(\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=1\); \(\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=0\)
\(\Rightarrow1=0+1\) (đúng)
Vậy đẳng thức (1) được chứng minh xong
Phương trình đã cho trở thành:
\(2\left[3x\right]=\left[3x\right]+1\)
\(\Leftrightarrow\left[3x\right]=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le x< \frac{2}{3}\)
\(\frac{x^2}{\left(x+2\right)}=3x^2-6x-3,x\ne-2\)
\(\Rightarrow x^2=\left(3x^2-6x-3\right)\left(x+2\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-\left(3x^2-6x-3\right)\left(x+2\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(3x^4+12x^3+12x^2-6x^3-24x^2-24x-3x^2-12x-12\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(3x^4+6x^3-15x^2-36x-12\right)=0\)
\(\Rightarrow16x^2-3x^4-6x^3+36x+12=0\)
\(\Rightarrow-2x^2+18x^2-3x^4-6x^3+36x+12=0\)
\(\Rightarrow-x^2\left(3x^2+6x+2\right)+\left(3x^2+6x+2\right)=0\)
\(\Rightarrow-\left(3x^2+6x+2\right)\left(x^2-6\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\left(3x^2+6x=2\right)=0\\x^2-6=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{-3+\sqrt{3}}{3}\\\frac{-3-\sqrt{3}}{3},x\ne-2\\x=-\sqrt{6}\\x=\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
bạn tham khảo thêm cách này nha Shonogeki No Soma
ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne1\\x\ne-1\end{cases}}\)
Đặt \(a=\left(x-1\right)^3;b=x^3;c=\left(x+1\right)^3\)
pt đã cho đc viết lại thành
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{cases}}\) (kí hiệu [..] mới đúng nha)
- TH1: a = -b hay \(\left(x-1\right)^3=-x^3\) \(\Leftrightarrow2x^3-3x^2+3x-1=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) (Nhận)
- TH2: b = -c hay \(\left(x+1\right)^3=-x^3\) \(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+3x+1=0\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\) (Nhận)
- TH3: c = -a hay \(\left(x+1\right)^3=-\left(x-1\right)^3\) \(\Leftrightarrow x=0\) (Loại)
KL: \(S=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}\)
\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+\frac{1}{\left(x+1\right)^3}+\frac{1}{x^3}=\frac{1}{3x\left(x^2+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow4x^8+15x^6+12x^4+8x^2-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x^2+3\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)