Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ ĐKXĐ: \(x\ge4\)
Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=a>0\)
\(\Rightarrow a^2=2x+2\sqrt{x^2-16}\)
Phương trình trở thành:
\(a=a^2-12\Leftrightarrow a^2-a-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=4\\a=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\)
\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-16}=16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-16}=8-x\left(x\le8\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-16=x^2-16x+64\)
\(\Rightarrow x=5\)
b/ \(x\ge-\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=a\\\sqrt{4x^2-2x+1}=b\end{matrix}\right.\) ta được:
\(a+3b=3+ab\)
\(\Leftrightarrow ab-a-\left(3b-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)-3\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=3\\\sqrt{4x^2-2x+1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=9\\4x^2-2x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2-4xy-5=0\\4xy\left(x+2y\right)+5\left(x+2y\right)-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2y\right)^2-\left(4xy+5\right)=0\\\left(4xy+5\right)\left(x+2y\right)-1=0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=a\\4xy+5=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=0\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-\frac{1}{a}=0\Rightarrow a^3-1=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\4xy+5=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-2y\\4y\left(1-2y\right)+4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-2y\\-8y^2+4y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-1\\y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)
b/Cộng vế với vế:
\(17x^2-2\left(4y^2+1\right)x+y^4+1=0\)
\(\Delta'=\left(4y^2+1\right)^2-17\left(y^4+1\right)=-y^4+8y^2-16\)
\(\Delta'=-\left(y^2-4\right)^2\ge0\Rightarrow y^2-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)
- Với \(y=2\) \(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)
\(\)- Với \(y=-2\Rightarrow x^2-2x-7=0\Rightarrow x=1\pm2\sqrt{2}\)
a.
ĐKXĐ: \(1\le x\le7\)
\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{7-x}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(7-x\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{7-x}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=7-x\\x-1=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
b. ĐKXĐ: ...
Biến đổi pt đầu:
\(x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)^2=\sqrt{y-1}-\sqrt{x}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2b^2-b^4=b-a\)
\(\Leftrightarrow b^2\left(a+b\right)\left(a-b\right)+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b^2\left(a+b\right)+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y-1}\Rightarrow y=x+1\)
Thế vào pt dưới:
\(3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-\sqrt{5x-4}\right)+7-x-3\sqrt{5-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x^2-5x+4\right)}{x+\sqrt{5x-4}}+\dfrac{x^2-5x+4}{7-x+3\sqrt{5-x}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(\dfrac{3}{x+\sqrt{5x-4}}+\dfrac{1}{7-x+3\sqrt{5-x}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
\(\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(x>0\)
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x\) ta được :
\(\frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=-1}\\\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{y^2+2}{x}=4\)
\(\Leftrightarrow y^2=4x+2\)
Thế vào phương trình (2) ta được : \(\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\)
Đặt \(\sqrt{4x-1}=u,\left(u\ge0\right),\sqrt[3]{2x-1}=v\) ta có hệ : \(\begin{cases}u+v=1\\u^2-2v^3=1\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(u=1;v=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};y=0\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(x=\frac{1}{2};y=0\)
Điều kiện \(x\le2;y\ge-1;y^3\left(2x-y\right)\ge0;5y^2-4x^2\ge0\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta có :
\(\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}=\sqrt{y^2\left(2xy-y^2\right)}\le\frac{y^2+2xy-y^2}{2}=xy\)
\(\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}\le\frac{x^2+5y^2-4x^2}{2}=\frac{5y^2-3x^2}{2}\)
Suy ra :
\(3\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}+\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}\le3xy+\frac{5y^2-3x^2}{2}\)
Vì vậy ta phải có : \(4y^2\le3xy+\frac{5y^2-3x^2}{2}\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\le0\Leftrightarrow x=y\)
Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với : x=y
Thay y=x vào phương trình thứ 2 của hệ ta được :
\(\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}+2=x+x^2\) (*)
Do \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}>0\Rightarrow x>1\)(do \(x\ge-1\)
Khi đó phương trình (*) tương đương với :
\(x^2-x-1+\left(x-1-\sqrt{2-x}\right)+\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)\left(1+\frac{1}{x-1+\sqrt{2-x}}+\frac{1}{x+\sqrt{x+1}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\) (do \(1+\frac{1}{x-1+\sqrt{2-x}}+\frac{1}{x+\sqrt{x+1}}>0\))
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x=y=x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
ĐKXĐ:...
Từ pt đầu:
\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=x-2y+\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow y^2+1+2y\sqrt{y^2+1}+y^2=2x-4y+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=2x-4y+2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=\sqrt{2x-4y+2}\)
Thế xuống pt dưới:
\(x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{y^2+1}+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}=2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+4}\)
Do hàm \(t+\sqrt{t^2+4}\) đồng biến
\(\Leftrightarrow x-1=2y\Rightarrow x=2y+1\)
Thế vào pt đầu:
\(\left(y+1\right)^2+y\sqrt{y^2+1}=2y+\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=2-y\)
\(\Leftrightarrow...\)
ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+2y+2\ge0\\3x+y\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\left(\sqrt{4x^2+3}-2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}-y+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{4x^2+3}+2x}.\dfrac{3}{\sqrt{y^2-2y+4}+y-1}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2+3}+2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}+y-1\right)=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{4x^2+3}+2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}+y-1\right)=\left(\sqrt{4x^2+3}-2x\right)\left(\sqrt{y^2-2y+4}-y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y^2-2y+4}+\left(y-1\right).\sqrt{4x^2+3}=0\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y^2-2y+4}=\left(1-y\right).\sqrt{4x^2+3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2.\left(y^2-2y+4\right)=\left(y^2-2y+1\right).\left(4x^2+3\right)\\2x.\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^2=y^2-2y+1\\2x\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}2x=y-1\\2x=1-y\end{matrix}\right.\\2x\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
Với 2x = 1 - y
Khi đó ta có \(\sqrt{4x^2+2y+2}-\sqrt{3x+y}=2x+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+4}-\sqrt{x+1}=2x+1\) (ĐK : \(x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+1}=2x+1\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)=2x+\sqrt{x+1}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+1}=2x+\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\dfrac{2x-2}{\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình (1)
<=> \(\dfrac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
Xét vế trái : \(\dfrac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2-x+1}}=\sqrt{\dfrac{4x^2+4x+1}{x^2-x+1}}=\sqrt{\dfrac{5x^2-5x+5-x^2+9x-4}{x^2-x+1}}\)
\(=\sqrt{5-\dfrac{x^2-9x+4}{x^2-x+1}}< \sqrt{5}\) (2)
Lại có \(2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
\(=2+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\)
\(\ge2+\dfrac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{\sqrt{x+1}+1+4\sqrt{x^2-x+1}}=2+\dfrac{25}{\sqrt{x+1}+1+4\sqrt{x^2-x+1}}\)
Dấu "=" khi \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\approx3,498374325\\x\approx-0,7385661113\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(VP\ge3,6\) (3)
Từ (3) và (2) => (1) vô nghiệm
Vậy x = 0 => y = 1
Với 2x = y - 1 kết hợp điều kiện 2x(1 - y) \(\ge0\)
ta được x = 0 ; y = 1
Vậy (x ; y) = (0;1)