Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)ĐK: 2x+1>0
\(\log_3\left(2x+1\right)=2\log_{2x+1}3+1\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(2x+1\right)=2.\frac{1}{log_3\left(2x+1\right)}+1\)
Nhân \(log_3\left(2x+1\right)\)cả 2 vế
Đặt \(t=log_3\left(2x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2-t-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x+1=9\\2x+1=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4\\x=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\)nhận cả 2 nghiệm
b)ĐK x>0
\(\Leftrightarrow1+log^2_{27}x=\frac{10}{3}log_{27}x\)
Đặt \(t=log_{27}x\)
\(\Leftrightarrow t^2-\frac{10}{3}t+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=3\\t=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=27^3\\x=3\end{array}\right.\)
Điều kiện \(x^2-1>0\Leftrightarrow\left|x\right|>1\)
Bất phương trình tương đương với :
\(\log_3\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_3\Leftrightarrow0<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}1<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\Leftrightarrow1>x^2-1>\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow2>x^2>\frac{9}{8}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}>\left|x\right|>\frac{3}{2\sqrt{2}}\) (Thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D=\left(-\sqrt{2};\frac{-3}{2\sqrt{2}}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)\)
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)-log_3\left(x-1\right)^2=3\left(x^2-2x+1\right)-2x+1+1\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)+2x-1=log_3\left(x-1\right)^2+1+3\left(x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(2x-1\right)+2x-1=log_33\left(x-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) với \(t>0\)
\(f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln3}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(2x-1\right)=f\left(3\left(x-1\right)^2\right)\Leftrightarrow2x-1=3\left(x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-8x+4=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
Điều kiện x>0.
Phương trình đã cho tương đương :
\(\log_3\left(x^2+2x\right)-\log_3\left(3x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_3\left(x^2+2x\right)=\log_3\left(3x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x=3x+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-1\\x=2\end{cases}\)
Đối chiếu điều kiện ta có phương trình đã cho có nghiệm là \(x=2\)
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Lời giải:
Để ý rằng \(\log _3(3^{x+1}-3)=\log_3[3(3^x-1)]=1+\log_3(3^x-1)\)
Đặt \(\log_3(3^x-1)=t\). Khi đó PT tương đương:
\(t(t+1)=6\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(t=2\rightarrow 3^x-1=9\Leftrightarrow 3^x=10\rightarrow x=\log_3(10)\)
Nếu \(t=-3\Rightarrow 3^x-1=\frac{1}{27}\Rightarrow 3^x=\frac{28}{27}\Rightarrow x=\log_3\left (\frac{28}{27}\right)\)
Câu a đúng là cú lừa, biến đổi logarit thì dễ, đến lúc nó ra pt vô tỉ theo x mới thấy vấn đề :D
a/ĐK: \(0< x< 1\)
\(2log_2x-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2x^2-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}=x-2\sqrt{x}+2=x+2\left(1-\sqrt{x}\right)\)
Đặt \(1-\sqrt{x}=t\) (\(0< t< 1\)) \(\Rightarrow\dfrac{x^2}{t}=x+2t\)
\(\Leftrightarrow x^2-t.x-2t^2=0\) \(\Rightarrow\Delta=t^2+8t^2=9t^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{t+3t}{2}=2t\\x=\dfrac{t-3t}{2}=-t< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=2\left(1-\sqrt{x}\right)\Rightarrow x+2\sqrt{x}-2=0\) \(\Rightarrow x=4-2\sqrt{3}\)
b/ĐK \(x>0\)
\(log_3\left(x-1\right)^2-log_3x+\left(x-1\right)^2=x\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) \(\left(t>0\right)\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=x\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
ĐK: -1<x\(\ne\)0
Đặt \(log_3\left(x+1\right)=t\) (t\(\ne\)0)
bpt trở thành \(\frac{1}{3^t}>\frac{1+t}{3^t-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+t}{3^t-1}-\frac{1}{3^t}< 0\Leftrightarrow\frac{t.3^t+1}{3^t\left(3^t-1\right)}< 0\)
vì \(3^t>0\forall t\) nên ta có thể nhân 2 vế của bpt với \(3^t\)
Khi đó, ta có bpt \(\Leftrightarrow\frac{t.3^t+1}{3^t-1}< 0\)
*) Đặt \(f\left(t\right)=t.3^t+1\), f(0)=1
dễ thấy f(t) đồng biến trên tập R
*) Xét 2 trường hợp:
+TRƯỜNG HỢP 1) với t<0 \(\Leftrightarrow3^t< 1\Leftrightarrow3^t-1< 0\) (1)
vì \(\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}\left[f\left(t\right)\right]=1\) nên f(t)>1 với mọi t \(\Leftrightarrow t.3^t+1>1\Rightarrow t.3^t+1>0\forall t\) (2)
kết hợp (1) và (2) ta thấy t<0 thỏa mãn bpt
+TRƯỜNG HỢP 2) với t>0 \(\Leftrightarrow3^t-1>0\) (3)
lại có f(t)>f(0) với mọi t>0 \(\Leftrightarrow t.3^t+1>1\) (4)
kết hợp (3) và (4) ta thấy không thỏa mãn bpt
vậy bpt đã cho tương đương t<0\(\Leftrightarrow log_3\left(x+1\right)< 0\Leftrightarrow x+1< 1\Leftrightarrow x< 0\)
kết hợp ĐK ta có -1<x<0
Giờ mới trông thấy bài này :)))