Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Đặt \(\left(\frac{a}{b+c};\frac{b}{c+a};\frac{c}{a+b}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) Khi đó ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2+14xyz\ge4\)
Theo BĐT Nesbit \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\left(x+y+z\right)^2+14xyz=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+14xyz\)
\(=x^2+y^2+z^2+6xyz+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge4\left(xy+yz+xz\right)+8xyz=4\)
\(VT=\left(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}\right)\left[\left(\frac{\sqrt{a}}{b+c}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b}}{c+a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2\right]\)
Áp dúng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(VT\ge\left(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{b+c}+\sqrt{b}.\frac{\sqrt{b}}{c+a}+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)
Xét \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.
mình hướng dẫn thôi được không chứ mình đá bóng bị ngã nên giờ bấm giải chi tiết không nổi
thôi mình sẽ giải chi tiết luôn nhé chứ hướng dẫn khó hiểu lắm
Cách này khá phức tạp dùng để tìm BĐT phụ
Để giải dễ hơn và không mất tính tổng quát thì giả sử a+b+c=3. Điểm rơi: a=b=c=1 và Min=3/4
Bất đẳng thức quy về dạng
\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}+\frac{b}{\left(b-3\right)^2}+\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Tìm m,n sao cho: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge am+n\)
Tương tự với \(\frac{b}{\left(b-3\right)^2}\)và \(\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\)
Ta có: \(VT\ge\left(a+b+c\right)m+3n=3\left(m+n\right)\)
\(\Rightarrow3\left(m+n\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow m+n=\frac{1}{4}\Rightarrow m=\frac{1}{4}-n\)
Thế ngược lên trên:
\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{1}{4}a-an+n\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}a\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}\right)\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{-\left(a^2-6a+5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\right)\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-a\right)\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Rightarrow n=\frac{a\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}=\frac{1}{4}\)khi a=1 (điểm rơi lấy xuống)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)
BĐT phụ cần CM: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}\)
Cho a,b,c>0. Cmr: a/(b+c)^2+b/(c+a)^2+c/(a+b)^2>=9/[4(a+b+c)]. Giup minh vs...!? | Yahoo Hỏi & Đáp