Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp đụng định lý bezout ta có:
Một đa thức f(x) mà muốn chia hết cho một đa thức x-a thì f(a) phải =0
Dễ dàng chứng minh được điều trên.
Ta co:f(x)=g(x).(x-a)+r
Muốn chia hết =>r=0=>f(a)=g(x).(a-a)+0=0. Do đó có điều phải c/m.
Áp dụng vào:
Để f(x)=4x^3+ax+b chia hết cho x-2 và x+1
=>f(2)=0=>4.2^3+2a+b=0=>2a+b=-32
f(-1)=0=>4.(-1)^3-a+b=0=>-a+b=4
Kết hợp 2 điều trên tạo thành hpt bậc nhất 2 ẩn
=>a=-12,b=-8
Do đó: f(x)=4x^3-12x-8
=> 2a-3b = -12 . 2 - (-8)3 = -24 + 24 = 0
1. Đa thức chia có bậc là 2 nên bậc của đa thức dư không vượt quá 1
Gỉa sử \(f_{\left(x\right)}\) chia \(x^2-1\) được thương là \(g_{\left(x\right)}\) và số dư là ax+b \(\Rightarrow f_{\left(x\right)}=x^{100}+x^{99}+x^{98}+...+x^2+1=\left(x^2-1\right).g_{\left(x\right)}+\left(ax+b\right)\)
Ta có: \(f_{\left(1\right)}=1^{100}+1^{99}+...+1^2+1=\left(1^2-1\right).g_{\left(1\right)}+\left(a.1+b\right)\)
\(\Rightarrow a+b=101\) (1)
\(f_{\left(-1\right)}=\left(-1\right)^{100}+\left(-1\right)^{99}+...+\left(-1\right)+1=\left[\left(-1\right)^2-1\right].g_{\left(-1\right)}+\left[a\left(-1\right)+b\right]\)
\(\Rightarrow-a+b=1\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+b-a+b=102\Rightarrow2b=102\Rightarrow b=51\)
\(\Rightarrow-a+51=1\Rightarrow-a=-50\Rightarrow a=50\)
Vậy đa thức dư là 50x+51
2. Đa thức \(4x^3+ax+b\) chia hết cho các đa thức x-2 và x+1, mà x-2 và x+1 không có nhân tử chung có bậc khác 0 nên \(4x^3+ax+b⋮\left(x-2\right)\left(x+1\right)=x^2-x-2\)
Đặt \(4x^3+ax+b=\left(x^2-x-2\right)\left(4x+c\right)\)
\(=4x^3+cx^2-4x^2-cx-8x-2c\)
\(=4x^3+\left(c-4\right)x^2-\left(c+8\right)x-2c\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-4=0\\c+8=-a\\-2c=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=4\\a=-12\\b=-8\end{matrix}\right.\Rightarrow2a-3b=2.\left(-12\right)-3.\left(-8\right)=0\)
Vậy 2a-3b=0
\(a,\Leftrightarrow4x^3-2x^2+a=\left(2x-3\right).a\left(x\right)\)
Thay \(x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow4.\dfrac{27}{8}-2.\dfrac{9}{4}+a=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{27}{2}-\dfrac{9}{2}+a=0\\ \Leftrightarrow a=-9\)
\(b,\Leftrightarrow3x^3+2x^2+x+a=\left(x+1\right).b\left(x\right)+2\)
Thay \(x=-1\Leftrightarrow-3+2-1+a=2\Leftrightarrow a=4\)
Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:
\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)
Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:
\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...
-Áp dụng định lí Bezout:
\(P\left(-1\right)=\left(-1\right)^4-6.\left(-1\right)^3+7.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\)
\(\Rightarrow1+6+7-a+b=0\)
\(\Rightarrow a-b=14\left(1\right)\)
\(P\left(-2\right)=\left(-2\right)^4-6.\left(-2\right)^3+7.\left(-2\right)^2+a.\left(-2\right)+b=0\)
\(\Rightarrow16+48+28-2a+b=12\)
\(\Rightarrow2a-b=80\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) suy ra: \(a=66;b=52\)
và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên.
Do đó f(x) cho hết khi chia hết
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)\) và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên
Do đó f(x) cho hết \(x^2+ax+b\) khi \(x^2-2x-2\) chia hết \(x^2+ax+b\)
\(\Rightarrow a=b=-2\)
Gọi thương của phép chia 4x3+ax+b và x-2 là A(x)
\(\Rightarrow4x^{3^{ }}+ax+b=\left(x-2\right).A\left(x\right)\)
Vì đẳng thức luôn đúng với mọi x nên ta thay x =2 vào ta được
\(\Rightarrow32+2a+b=0\)
⇒ 2a + b = -32
Gọi thương của phép chia 4x3+ax+b và x+1 là B(x)
\(\Rightarrow4x^{3^{ }}+ax+b=\left(x+1\right).B\left(x\right)\)
Vì đẳng thức luôn đúng với mọi x nên ta thay x =-1 vào ta được
\(\Rightarrow-4-a+b=0\)
\(\Rightarrow-a+b=4\)
Có \(\left[{}\begin{matrix}2a+b=-32\\-a+b=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-12\\b=-8\end{matrix}\right.\)
⇒ 2a - 3b
= 2.(-12) - 3 .(-8)
= 0