Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo theo link này nhé!
Chứng minh: 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ... + 1/n^3 < 1/4 với n thuộc N, n ≥ 2 - Toán học Lớp 8 - Bài tập Toán học Lớp 8 - Giải bài tập Toán học Lớp 8 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục
\(A< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}\)
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n\left(n-1\right)}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
Từ đó suy ra: \(A< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)< \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
đpcm<=> 5/9.14+5/14.19+...+5/(5n-1)(5n+4)<1/9
<=>1/9-1/5n+4<1/9
<=>5n-5/45n+36<1/9(đúng với mọi n>=2)
Vậy ddpcm là đúng
Đặt \(A=\frac{3}{9.14}+\frac{3}{14.19}+.......+\frac{3}{\left(5n-1\right)\left(5n+4\right)}\)
\(5A=\frac{15}{9.14}+\frac{15}{14.19}+.....+\frac{15}{\left(5n-1\right)\left(5n+4\right)}\)
\(5A=3.\left(\frac{5}{9.14}+\frac{5}{14.19}+......+\frac{5}{\left(5n-1\right)\left(5n+4\right)}\right)\)
\(5A=3.\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{19}+.....+\frac{1}{5n-1}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
\(5A=3.\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{5n+4}\right)\)
\(5A=\frac{1}{3}-\frac{1}{5n+4}\)
=> \(5A<\frac{1}{3}\)
=> \(A<\frac{1}{3}:5\)
hay \(A<\frac{1}{15}\) \(\left(đpcm\right)\)
Nhớ nhé bạn
Ta có:\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3};.............;\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+............+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.........+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
=\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+............+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
=\(1-\frac{1}{n}<1\)
Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...............+\frac{1}{n^2}<1\)
ta có 1/23<1/1*2*3 1/33<1/2*3*4 1/43<1/3*4*5 .... 1/n3<1/(n-1)*n*(n+1)
Vậy=1/23+1/33+...+1/n3<1/1*2*3+1/2*3*4+.....1/(n-1)*n*(n+1)
Ta có 1/1*2*3 + 1/2*3*4 +...+ 1/(n-1)*n*(n+1)
=1/2*(1/1*2-1/2*3 + 1/2*3-1/3*4 +...+ 1/(n-1)*n-1/n*(n+1)
=1/2*(1/2- 1/6 + 1/6 -1/12+..........+1/(n-1)*n-1/n*(n+1)
=1/2*(1/2-1/n*(n+1))
=1/4-1/2n*(n+1)<1/4
Vì 1/2^3+1/3^3+..+1/n^3<1/4-1/2n*(n+1)<1/4
nên =>1/2^3+1/3^3+...+1/n^3<1/4
\(< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(< 2\cdot\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)
\(< \frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{5\cdot6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
\(< \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\right)\)
\(< \frac{1}{4}-\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
ĐPCM