Question

[Thầy Cao Đô]

Chứng minh rằng với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.

Answer 1

[Nguyễn Hà Ngân]

$4x^2+4y^2+4xy>6y-4\left(1\right)$

$\iff 4x^2+4y^2+4xy-6y+4>0\left(2\right)$

$\iff 4x^2+4xy+y^2+3y^2-6y+3+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3(y^2-2y+1)+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1>0$

$+){(2x+y)}^2\ge 0$

$3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1\ge 1>0$

BĐT(2) luôn đúng

$\to$ BĐT(1) luôn đúng

Vậy $4x^2+4y^2+4xy>6y-4$

Answer 2

[Nguyễn Hà Ngân]

Ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$

$\iff (x^2-4xy+4y^2)+3(x^2+2x+1)\ge 0$

$\iff (x-2y{)}^2+3(x+1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$.