Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt svacxơ, ta có
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
* t sẽ chứng minh đề thiếu điều kiện \(n>0\)
ĐKXĐ : \(n>0\) hoặc \(n< -1\)
+) Nếu \(n>0\) ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}< \frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{\left|n\right|}=\frac{1}{n}\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}< \frac{1}{n}\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}< \frac{1}{n}\)
\(............\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< \frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\)
\(=n.\frac{1}{n}=1\)
\(\Rightarrow\)\(P< 1\)
+) Nếu \(n< -1\) ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}< \frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{\left|n\right|}=\frac{1}{-n}\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}< \frac{1}{-n}\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}< \frac{1}{-n}\)
\(............\)
\(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< \frac{1}{-n}\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< \frac{1}{-n}+\frac{1}{-n}+\frac{1}{-n}+...+\frac{1}{-n}\)
\(=n.\frac{1}{-n}=-1\)
\(\Rightarrow\)\(P< -1\)
Vậy nếu \(n>0\) thì \(P< 1\) , nếu \(n< -1\) thì \(P< -1\)
hehe :))
Xét dạng tổng quát có: \(\frac{1}{\sqrt{n+1}\left(n+1\right)+n\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)-\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)
\(< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}-\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
.....
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng vế theo vế =>\(VT< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(ĐPCM\right)\)