Question

[Trịnh Quang Hùng]

Chứng minh m chia hết cho 1997

\(\frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1329}-\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1331}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1330}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1330}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{665}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1}{666}+\frac{1}{667}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\)

\(\frac{m}{n}=\left(\frac{1}{666}+\frac{1}{1331}\right)+\left(\frac{1}{667}+\frac{1}{1330}\right)+...+\left(\frac{1}{998}+\frac{1}{999}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1997}{666.1331}+\frac{1997}{667.1330}+...+\frac{1997}{998.999}=\frac{1997k_1+1997.k_2+...+1997.k_{333}}{666.667...1331}\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1997.\left(k_1+k_2+...+k_{333}\right)}{666.667...1330.1331}\) trong đó: k₁;...; k₃₃₃ là các thừa số phụ của các phân số trong tổng 

Nhận xét: phân số trên có tử chia hết cho 1997 là số nguyên tố; mẫu số không chia hết cho thừa số nguyên tố 1997 nên khi rút gọn tử vẫn chia hết cho 1997

=> m chia hết cho 1997