Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
b) Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1.
VT = 3; VP \(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-3\right)=3\).
Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử \(S_k=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)\).
Ta cần chứng minh: \(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1+1}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)+3^{k+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3+2.3^{k+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(3.3^{k+1}-3\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Vậy \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\).
Đặt vế trái bằng S n . Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có 
với k ≥ 1.
Ta phải chứng minh 
Thật vậy
+ Với n = 1, ta có:
VT = 3 – 1 = 2
⇒ VT = VP
⇒ (1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :
Thật vậy :
Ta có :
Tui làm theo cách tiểu học, để mai nghĩ xem có cách nào làm "cấp 3" ko
2+3=5; 5+3=8
Số số hạng: \(\dfrac{3n-1-2}{3}+1=n\left(so-hang\right)\)
Tổng: \(\dfrac{\left(3n-1+2\right).n}{2}=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(a,lim\dfrac{2n^2+1}{3n^3-3n+3}\)
\(=lim\dfrac{\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3}}{3-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}=0\)
\(\lim\dfrac{-3n^3+1}{2n+5}=\lim\dfrac{-3n^2+\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{5}{n}}=\dfrac{-\infty}{2}=-\infty\)
\(\lim\dfrac{n^3-2n+1}{-3n-4}=\lim\dfrac{n^2-2+\dfrac{1}{n}}{-3-\dfrac{4}{n}}=\dfrac{+\infty}{-3}=-\infty\)
1:
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3n^5+3n^3-1}{n^3-2n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^5\left(3+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^5}\right)}{n^3\left(1-\dfrac{2}{n^2}\right)}\)
\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^2\cdot3=+\infty\)
2: \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3n^7+3n^5-n}{3n^2-2n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3n^6+3n^4-1}{3n-2}\)
\(=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^6\left(3+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^6}\right)}{n\left(3-\dfrac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^5=+\infty\)
\(b,lim\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(n-10\right)^2}{\left(n+1\right)\left(3n-3\right)^3}\)
\(=lim\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{10}{n^2}\right)^2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{3}{n^3}\right)}=0\)
tham khảo:
\(a) 2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)2 (1) Đặt Sn=2+5+8+...+(3n−1) Với n=1 ta có: S1=2=1(3.1+1)2 Giả sử (1) đúng với n=k(k≥1), tức là Sk=2+5+8+...+(3k−1)=k(3k+1)2 Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1 hay Sk+1=(k+1)(3k+4)2 Thật vậy ta có: Sk+1=2+5+8+...+(3k−1)+[3(k+1)−1]=Sk+3k+2=k(3k+1)2+3k+2=3k2+k+6k+42=3k2+7k+42=(k+1)(3k+4)2 Vậy (1) đúng với mọi k≥1 hay (1) đúng với mọi n∈N∗ b) 3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) (2) Đặt Sn=3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) Với n=1, ta có: S1=3=12(32−3) (hệ thức đúng) Giả sử (2) đúng với n=k(k≥1) tức là Sk=3+9+27+...+3k=12(3k+1−3) Ta chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là chứng minh Sk+1=12(3k+2−3) Thật vậy, ta có: Sk+1=3+9+27+...+3k+1=Sk+3k+1=12(3k+1−3)+3k+1=32.3k+1−32=12(3k+2−3)(đpcm) Vậy (2) đúng với mọi k≥1 hay đúng với mọi n∈N∗\)