Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng
Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma
Đặt x/a=y/b=z/c=k
=>x=ak; y=bk; z=ck
\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{a^4k^2+b^4k^2+c^4k^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
Lời giải:
Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=t$
$\Rightarrow x=at; y=bt; z=ct$. Ta có:
$(x+y+z)^2=(at+bt+ct)^2=t^2(a+b+c)^2=t^2(*)$
Mặt khác:
$x^2+y^2+z^2=(at)^2+(bt)^2+(ct)^2=t^2(a^2+b^2+c^2)=t^2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ (đpcm)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\left(1\right)\)
\(c^2=bd\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), suy ra: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
Vậy \(\dfrac{a}{d}=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)(đpcm)
~ Học tốt!~
b/
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
* \(\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3a\\2c+a=3b\\2a+b=3c\end{matrix}\right.\)
+)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3a-2b\\a=3b-2c\\b=3c-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)=abc\left(1\right)\)
+) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=3c-a\\2c=3b-a\\2a=3c-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)=8abc\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{abc}{8abc}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{8}\)