K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 7 2016

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\) (ĐKXĐ : \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\))

\(\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-4\sqrt{y-2}+4\right)+\left(z-3-6\sqrt{z-3}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

Vì \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0;\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2\ge0;\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2\ge0\)

nên phương trình tương đương với : \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}}\)(TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình :  \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;12\right)\)

19 tháng 9 2016

áp dụngBĐT cô si ta có

\(\frac{x^2}{y+1}\)+\(\frac{y+1}{4}\)\(\ge\)x

\(\frac{y^2}{z+1}\)+\(\frac{z+1}{4}\)\(\ge\)y

\(\frac{z^2}{x+1}\)+\(\frac{x+1}{4}\)\(\ge\)z

khi đó VT\(\ge\)x+y+z-\(\frac{x+y+z+3}{4}\)=\(\frac{3\left(x+y+z\right)-3}{4}\)

áp dụng BĐT cô si

x+y+z\(\ge\)\(3\sqrt[3]{xyz}\)=3

do đó VT\(\ge\)\(\frac{6}{4}\)=\(\frac{3}{2}\)  (đpcm)

13 tháng 4 2019

Theo đề: \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x+y=-z\)

\(\Rightarrow-\left(x+y\right)=z\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)^5=z^5\)

\(x^2+y^2+z^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=1-z^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1-z^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1-z^2+2xy\)

\(\Rightarrow\left(-z\right)^2=1-z^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow xy=\frac{2z^2-1}{2}\)

Nên ta có:

\(VT=x^5+y^5+z^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5\)

                                   \(=x^5+y^5-\left(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)

                                   \(=x^5+y^5-x^5-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4-y^5\)

                                    \(=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

                                    \(=-5xy\left(x^3+y^3\right)-10x^2y^2\left(x+y\right)\)

                                    \(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-10x^2y^2\left(x+y\right)\)

                                     \(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2+2xy\right)\)

                                     \(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

                                       \(=-5.\frac{2z^2-1}{2}.\left(-z\right).\left(1-z^2+\frac{2z^2-1}{2}\right)\)

                                       \(=\frac{5z\left(2z^2-z\right)}{4}=\frac{5}{4}z\left(2x^2-1\right)=\frac{5}{4}\left(2z^3-z\right)=VP\)

=> đpcm