Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)
CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Khi đó ta chứng minh được :
\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó ta suy ra :
\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=xyz\)( ĐPCM )
Hên xui thôi
1/y+1/x+1/z=0
=>xy+yz+xz=0(tự cm)
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2=0
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+3xyz=3xyz
x^6+y^6+z^6=(x^2+y^2+z^2)(X^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2z^2)+3(xyz)^2=3(xyz)^2
=> (x^6+y^6+z^6)/(x^3+y^3+z^3)=3(Xyz)^2/3xyz=xyz(dpcm)
:D???? ể??
\(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-y-z\\y=-z-x\\z=-x-y\end{cases}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(\hept{\begin{cases}xy=\left(-y-z\right).y=-y^2-zy\\yz=\left(-x-z\right).z=-z^2-xz\\xz=\left(-y-x\right).x=-x^2-xy\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+zx=-\left(x^2+y^2+z^2+xz+xy+zy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0??????\)
p/s: ko biết t lỗi hay đề lỗi ((:
Bạn tự chứng minh hằng đẳng thức
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Mà x+y+z=0
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Tương tự bạn có \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Thay vào là đc. Có chỗ nào chưa hiểu thì kb và k cho mk nha, mk sẽ chỉ rõ hơn
Có: \(x+y+z=0\)
CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)
Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)
Từ (1) và (2):
Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1^2}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)(\(\left(a+b\right)^2\ge4a\))
Tương tự: \(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4};\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\)
\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\right)\ge4\left(\frac{x}{x^6+y^4}+\frac{y}{y^6+z^4}+\frac{z}{z^6+x^4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
với x,y,z >0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^6+y^4>=2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}< =\frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\)
\(y^6+z^4>=2\sqrt{y^6z^4}=2y^3z^2\Rightarrow\frac{2y}{y^6+z^4}< =\frac{2y}{2y^3z^2}=\frac{1}{y^2z^2}\)
\(z^6+x^4>=2\sqrt{z^6x^4}=2z^3x^2\Rightarrow\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{2z}{2z^3x^2}=\frac{1}{z^2x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\left(1\right)\)
với x,y,z>0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{y^4}}=\frac{2}{x^2y^2}\)
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{y^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{y^2z^2}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x^4}+\frac{2}{y^4}+\frac{2}{z^4}>=\frac{2}{x^2y^2}+\frac{2}{y^2z^2}+\frac{2}{x^2z^2}\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2x}{y^6+z^4}+\frac{2x}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Học hằng đẳng thức ni chưa a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
Nếu rồi thì giải như sau
x+y+z=0 suy ra x3+y3+z3=3xyz
tương tự \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=3\(\frac{1}{xyz}\)
M=\(\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}\);M=xyz
Đề cho \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 làm chi vậy bạn