Question

[Pham Van Hung]

Cho x;y;z thoả mãn \(\hept{\begin{cases}1\le x;y;z\le3\\x+y+z=6\end{cases}}\)

Chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\le36\)

Answer 1

[tth_new]

Đặt \(x=a+1;y=b+1;z=c+1\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)và \(a+b+c=3\)

Chứng minh : \(\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3\le36\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le24\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) thì:

\(3a\ge a+b+c=3\Rightarrow2\ge a\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Theo kết quả bài này thì \(a^2+b^2+c^2\le5\) (em làm thế này cho ngắn, lúc trình bày vô bài làm thì anh ghi cả chứng minh vô luôn nha!). Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(a^3+b^3+c^3\le9\).

Ta có: \(a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)

\(=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị.