Question

[Kiệt Nguyễn]

Cho x,y,z không âm và x+y+z=\(\frac{3}{2}\)

Tìm min của \(P=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2\)

Answer 1

[tth_new]

Ta chứng minh \(P\ge\frac{25}{64}\). Thật vậy:

Đặt \(p=x+y+z=\frac{3}{2},q=ab+bc+ca,r=abc\)

Cần chứng minh: 

Dễ thấy khi r giảm thì f(r) giảm. Mà theo Schur: -3/8 + (2*q)/3=-1/9*p^3 + 4/9*q*p <= r 

Nên \(f\left(r\right)\ge f\left(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8}\right)=\frac{\left(4q-3\right)\left(q-6\right)}{9}\ge0\)

Done.

Answer 2

[tth_new]

Bunyakovski hả?

Có: \(\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

Cần chứng minh: \(\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+x^2y^2z^2\ge\frac{25}{64}\)

Or \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}+\left(x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\right)\ge\frac{13}{32}\)

Or: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{4}xyz\ge\frac{13}{32}=\frac{13}{108}\left(x+y+z\right)^3\)(*)

 (1)

Điều thú vị là BĐT (*) đúng với mọi x,y,z thuộc R thỏa mãn x + y + z \(\ge0\) (nhờ đẳng thức (1) ). 

Mà điều này luôn đúng do điều kiện...