YY
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 10 2020
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}-\frac{z^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}-\frac{y^2}{x+y}+\frac{y^2}{x+z}-\frac{x^2}{x+z}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}-\frac{x^2}{x+z}\right)+\left(\frac{y^2}{x+z}-\frac{y^2}{x+y}\right)+\left(\frac{z^2}{x+y}-\frac{z^2}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z}\right)+y^2\left(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y}\right)+z^2\left(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\right)+y^2\left(\frac{y-z}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\right)+z^2\left(\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y^2\left(y-z\right)\left(y+z\right)+z^2\left(z-x\right)\left(z+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-y^2\right)+y^2\left(y^2-z^2\right)+z^2\left(z^2-x^2\right)\ge0\)
\(x^4-x^2y^2+y^4-y^2z^2+z^4-z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^4-2x^2y^2+2y^4-2y^2z^2+2z^4-2z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)+\left(y^4-2y^2z^2+z^4\right)+\left(z^4-2z^2x^2+x^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(y^2-z^2\right)^2+\left(z^2-x^2\right)^2\ge0\)(đúng)
24 tháng 11 2018
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
5 tháng 4 2020
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\frac{x}{y}-1)^2+(\frac{y}{z}-1)^2+(\frac{z}{x}-1)^2\right]\geq 0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
24 tháng 11 2018
Ta có
\(x+y+z+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(x+\frac{x^2}{y+z}+y+\frac{y^2}{z+x}+z+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xz+2xy+2yz+y^2=2z^2+2yz+2xz+2zx\Leftrightarrow2z^2=x^2+y^2\Leftrightarrow z^2=\frac{x^2+y^2}{2}\)