Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/
Xét hiệu $(x+1)^2-4x^2=(x+1)^2-(2x)^2=(x+1-2x)(x+1+2x)$
$=(1-x)(3x+1)$
Do $x\in (0;1)$ nên $1-x>0; 3x+1>0$
$\Rightarrow (x+1)^2-4x^2>0\Rightarrow (x+1)^2> 4x^2$
2/
Xét hiệu:
$(1+x+y)^2-4(x^2+y^2)=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy-4x^2-4y^2$
$=1+2x+2y+2xy-3x^2-3y^2$
$=2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2$
Vì $x,y\in (0;1)$ nên:
$2x(1-x)>0$
$2y(1-y)>0$
$(x-1)(y-1)>0\Rightarrow xy+1> x+y=x.1+y.1> x^2+y^2$
$\Rightarrow 1+xy-x^2-y^2>0$
$\Rightarrow 1+2xy-x^2-y^2>0$
Suy ra: $2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2>0$
$\Rightarrow (1+x+y)^2> 4(x^2+y^2)$
\(2x+y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^4y}{16}}\)
\(5x^2+5y^2=\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+5y^2\ge5\sqrt[5]{\frac{5^5}{4^4}x^8y^2}=5^2.\sqrt[5]{\frac{1}{4^4}}.\left(\sqrt[5]{x^4y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5x^2+5y^2}\ge5.\sqrt[5]{\frac{1}{2^4}}.\sqrt[5]{x^4y}\)
\(10=2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}\ge10.\sqrt[5]{\frac{1}{16}}\sqrt[5]{x^4y}\)
\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^4y}\le\sqrt[5]{16}\)\(\Rightarrow x^4y\le16\)