PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 6 2018
với x;y>=0 ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}\right)^2=2x+1+2y+1+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)}\)
\(=2\left(x+y\right)+2+\sqrt{4xy+2x+2y+1}=2\left(x+y\right)+2+\sqrt{4xy+2\left(x+y\right)+1}\)
\(2=2\left(x^2+y^2\right)=\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)>=\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y< =\sqrt{2}\)(bđt bunhiacopxki)
\(2xy< =x^2+y^2=1\Rightarrow2\cdot2xy=4xy< =2\cdot1=2\)
\(\Rightarrow A^2=2\left(x+y\right)+2+2\sqrt{4xy+2\left(x+y\right)+1}< =2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}\)
\(=2\sqrt{2}+2+2\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=2\sqrt{2}+2+2\left(\sqrt{2}+1\right)4\sqrt{2}+4\)
\(\Rightarrow A< =\sqrt{4\sqrt{2}+4}\)
dấu = xảy ra khi x=y=\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)
vậy max A là \(\sqrt{4\sqrt{2}+4}\)khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
24 tháng 5 2021
\(x^2+y^2+xy=3\)
Có \(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge2xy+xy\) \(\Leftrightarrow xy\le1\)
\(x^2+y^2\ge-2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge-2xy+xy\) \(\Leftrightarrow-3\le xy\)
Đặt A= \(x^2+y^2-xy=\left(3-xy\right)-xy=3-2xy\)
mà \(-3\le xy\le1\) \(\Rightarrow9\ge3-2xy\ge1\)
=> minA=1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\) <=>x=y=1
maxA=9 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-3\\x=-y\end{matrix}\right.\) <=>\(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 5 2021
Đặt \(P=x^2+y^2-xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{3x^2+3y^2-3xy}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}=\dfrac{x^2+y^2+xy+2\left(x^2+y^2-2xy\right)}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-y\right)^2}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow P\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(x=y=1\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+xy\right)-2\left(x^2+y^2+2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=3-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+xy}\le3\)
\(\Rightarrow P\le9\)
\(P_{max}=9\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
CM
15 tháng 3 2018
Ta có: 2 x 2 + 1 2 ≥ 2 x ; 2 y 2 + 1 2 ≥ 2 y và x 2 + y 2 ≥ 2 x y
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
3 x 2 + y 2 + 1 ≥ 2 x + y + x y = 5 2
=> A = x 2 + y 2 ≥ 1 2
Từ đó tìm được A m i n = 1 2 <=> x = y = 1 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2021
\(A\le\sqrt{3\left(x+y+y+z+z+x\right)}=\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)
\(A_{max}=\sqrt{6\sqrt{3}}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge x^2+y^2+z^2=1\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{z^2+xy+yz+zx}\)
\(A^2\ge2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2}+2\sqrt{y^2}+2\sqrt{z^2}=4\left(x+y+z\right)\ge4\)
\(\Rightarrow A\ge2\)
\(A_{min}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
CM
14 tháng 2 2017
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
Đặt \(P=x+y\Rightarrow P^2=\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=8\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{2}\le P\le2\sqrt{2}\)
\(P_{min}=-2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\sqrt{2}\)
\(P_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=y=\sqrt{2}\)