K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 8 2016

\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\)\(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)

\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)

\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)

\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(t=a^2>0\)

\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)

\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại 

Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn

\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)

9 tháng 8 2016

giúp với.

1 tháng 12 2016

Ta đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}\Rightarrow ab=1}\)

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge4\)

Ta có

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2\)

\(\ge2+2=4\)

19 tháng 2 2017

bạn chưa chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào

Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự  \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào A ta được

\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

=2(xy+xz+yz)=2

17 tháng 6 2019

\(b,VT=VP\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)

                                                                                                                                                                                                                                                                                    \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

                                                                                \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)

\(\Leftrightarrow2=2xyz\)

\(\Leftrightarrow xyz=1\)

Đù =)))

2 tháng 12 2017

\(\Leftrightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)

mà \(x\left(y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{16}{16}=1\left(đpcm\right)\)

2 tháng 12 2017

Tuyển ơi, m giải cho ai thế

mình bị lộn \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}\)

NV
26 tháng 6 2020

Nếu \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}\) thì nó đây:

Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Lan - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

NV
13 tháng 5 2020

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=a\\x-z=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z-y=a-b\)\(ab=1\)

\(VT=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\)

\(VT=a^2+b^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2ab=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2\)

\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}}+2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x-z\right)=1\\\left(y-z\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

NV
10 tháng 6 2020

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=a\\x-z=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=1\)

\(S=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=a^2+b^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\)

\(S=a^2+b^2-2ab+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2\)

\(S\ge2\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}}+2=4\) (đpcm)

13 tháng 5 2018

nhân VT ra rồi dùng cô si là ra 

13 tháng 5 2018

ở nhở :v bị ngáo nhập :v