Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Talet cho:
Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:
$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$
Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:
$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$
Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$
$\Rightarrow DE+DF=2AM$
Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động
b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$
Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:
$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$
Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$
$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$
a) △FKA và △AMC có: \(\widehat{FAK}=\widehat{ACM}\) (AK//CM); \(\widehat{AFK}=\widehat{CAM}\) (KF//AM).
\(\Rightarrow\)△FKA∼△AMC (g-g).
b) AK//DM, KD//AM \(\Rightarrow\)AKDM là hình bình hành\(\Rightarrow AK=DM;AM=DK\)
\(\Rightarrow\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{FK}{AM}\)
-△FKA∼△AMC \(\Rightarrow\dfrac{FK}{AM}=\dfrac{KA}{MC}\Rightarrow\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{DM}{BM}\left(3\right)\).
-△ABM có: DE//AM \(\Rightarrow\dfrac{DM}{BM}=\dfrac{AE}{AB}\left(1\right)\)
-△BED có: AK//BD \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EK}{KD}\left(2\right)\)
-Từ (1) (2) (3) suy ra \(\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{EK}{KD}\Rightarrow FK=EK\Rightarrow\)K là trung điểm EF.
c) Qua E và F kẻ đg thẳng song song với AK cắt AM tại G,H.
-AK//EG, KE//AG \(\Rightarrow\)AKEG là hình bình hành \(\Rightarrow KE=AG\).
-AK//FH, KF//AH \(\Rightarrow\)AKFH là hình bình hành \(\Rightarrow KF=AH\).
\(\Rightarrow AG=AH\).
-DE//GH, EG//DM \(\Rightarrow\)DEGM là hình bình hành \(\Rightarrow DE=GM\).
-DF//MH, FH//DM \(\Rightarrow\)DFHM là hình bình hành \(\Rightarrow DF=HM\).
-\(DE+DF=GM+HM=AM-AG+AM+AH=2AM\) không đổi.
a) Ta có:
{ DE song song với AM (gt) => DE/ AM = BD / BM (Định lí Thalès)
{ DF song song với AM (gt) => DF / AM = CD / CM (Định lí Thalès)
=> DE / AM + DF / AM = BD / BM + CD / CM
<=> (DE + DF) / AM = BD / (BC/2) + CD / (BC/2) = (BD + CD) / (BC/2)
(Vì AM là trung tuyến trong tam giác ABC => M là trung điểm của BC => BM = CM = BC/2)
<=> (DE + DF) / AM = BC / (BC/2) = 2BC / BC = 2
<=> DE + DF = 2AM (điều phải chứng minh)
b)
- Xét tứ giác ANDM có: AN // DM (gt) và DN // AM (gt)
=> Tứ giác ANDM là hình bình hành => AN = DM
- Ta có: AN // BD (gt)
=> AN / BD = NE / DE (Định lí Thalès)
<=> NE = (DE . AN) / BD
- Ta có: DE + DF = 2AM (cm câu a)
<=> DE + (DE + NE + NF) = 2AM
<=> 2DE + EF = 2AM
<=> EF = 2AM - 2DE = 2(AM - DE)
<=> EF = 2. {[(DE . BM) / BD] - DE} = 2. [(DE . BM - DE . BD) / BD]
(do DE/ AM = BD / BM => AM = (DE . BM) / BD )
<=> EF = 2. [DE . (BM - BD) / BD]
<=> EF = 2. (DE . DM) / BD = 2 . (DE . AN) / BD (vì AN = DM)
<=> EF = 2NE
<=> NE = EF / 2
Vậy N là trung điểm của EF