Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) HS tự chứng minh.
b) HS tự chứng minh.
c) Từ a, suy ra AB.AC = AD.AI (1)
Từ b, suy ra BD.CD = AD.ID (2)
Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD2 = AB.AC- DB.DC
trên AC lấy điểm I sao cho ABD = ADI
suy ra tam giác ABD đồng dạng tam giác ADI (g.g)
AD/AI = AB/AD
dùng tính chất a/b=c/d thì a.d=b.c
suy ra AD2 = AI .AB
mà AI < AC
suy ra AD2 < AC.AB
K MÌNH NHA
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\)không chứa \(A\)lấy tia \(Cx\)sao cho \(\widehat{BAD}=\widehat{BCx}\).
Kéo dài \(AD\)cắt \(Cx\)tại \(E\).
Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta DCE\)có:
\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(vì đối đỉnh).
\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\)(hình vẽ trên).
\(\Rightarrow\Delta DAB~\Delta DCE\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\)(2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CEA}\)
Và \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.DE=BD.CD\)\(\left(1\right)\).
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta EAC\)có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)(giả thiết).
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta EAC\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)\(\left(2\right)\).
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).
\(\Rightarrow AD.AE-AD.DE=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD\left(AE-DE\right)=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD.AD=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.CD\)(điều phải chứng minh).
Trên tia AD lấy M sao cho \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)
Có: \(\Delta ABD\sim\Delta AMC\left(gg\right)\)\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AM}\)
\(\Rightarrow AB.AC=AD.AM\)
Có: \(\Delta ABD\sim\Delta CMD\left(gg\right)\)\(\Rightarrow\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{CM}\)
\(\Rightarrow AD.CM=BD.CD\)
\(\Rightarrow AD\left(AM-CM\right)=AD^2=AB.AC-BD.CD\)
Trên tia AD lấy điểm E sao cho ^BEA = ^BCA.
Khi đó ^BED = ^ACD và ^BDE = ^ADC nên hai tam giác BDE và ADC đồng dạng
suy ra BD/AD = DE/DC
suy ra AD.DE = DB.DC (1).
Gọi F là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AD
vì AD là phân giác ^BAC nên F thuộc AB,
từ tính chất đối xứng suy ra ^DFA = ^DCA và AF = AC,
vì ^DCA = ^BCA = ^BEA nên ^DFA = ^BEA,
cùng với ^A chung nên hai tam giác DFA và BEA đồng dạng,
suy ra AD/AB = AF/AE = AC/AE, suy ra AD.AE = AB.AC (2).
Từ (2) và (1) theo vế thì có AD.(AE - DE) = AB.AC - DB.DC, suy ra AD^2 = AB.AC - DB.DC.
Links:
$AD^{2}=AB.AC-BD.DC$ - Hình học - Diễn đàn Toán học
Câu hỏi của Phương Anh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Chúc pạn hok tốt!!!