Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) (a>0 mới đúng, độ dài ko thể nhỏ hơn 0)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MG}\right|=a\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))
\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{a}{3}\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính \(\dfrac{a}{3}\)
VT= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MC}\)
= \(\overrightarrow{MG}\) +\(\overrightarrow{GA}\)+ \(\overrightarrow{MG}\) + \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{MG}\) + \(\overrightarrow{GC}\)
= 3\(\overrightarrow{MG}\) + \(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\)
= 3\(\overrightarrow{MG}\) + \(\overrightarrow{0}\)
= 3\(\overrightarrow{MG}\)
= VP (đpcm)
a)
Có: \(3\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=3\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)\)
\(=2\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\)\(=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{OM}\). (Đpcm).
b)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác MNP.
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\).
Thật vậy \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)
\(=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\).
Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNP. (Đpcm).
a;\(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MC}\)
\(=3\overrightarrow{AM}\)
b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)
\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)
=3vecto MG
Với điểm M bất kì ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Chọn M trùng A, ta được: \(\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} .\)
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))